Машина Тьюринга
В 1936 г. Аланом Тьюрингом для уточнения понятия алгоритма был предложен абстрактный универсальный исполнитель. Его абстрактность заключается в том, что он представляет собой логическую вычислительную конструкцию, а не реальную вычислительную машину. Термин «универсальный исполнитель» говорит о том, что данный исполнитель может имитировать любой другой исполнитель. Например, операции, которые выполняют реальные вычислительные машины можно имитировать на универсальном исполнителе. В последствие, придуманная Тьюрингом вычислительная конструкция была названа машиной Тьюринга.
Кроме того, предполагается, что универсальный исполнитель должен уметь доказывать существование или отсутствие алгоритма для той или иной задачи.
Что собой представляет машина Тьюринга?
Машина Тьюринга состоит из бесконечной в обе стороны ленты, разделенной на ячейки, и автомата (головки), которая управляется программой.
Программы для машин Тьюринга записываются в виде таблицы, где первые столбец и строка содержат буквы внешнего алфавита и возможные внутренние состояния автомата (внутренний алфавит). Содержимое таблицы представляет собой команды для машины Тьюринга. Буква, которую считывает головка в ячейке (над которой она находится в данный момент), и внутренне состояние головки определяют, какую команду нужно выполнить. Команда определяется пересечением символов внешнего и внутреннего алфавитов в таблице.
Чтобы задать конкретную машину Тьюринга, требуется описать для нее следующие составляющие:
Автомат машины Тьюринга в процессе своей работы может выполнять следующие действия:
Одна команда для машины Тьюринга как раз и представляет собой конкретную комбинацию этих трех составляющих: указаний, какой символ записать в ячейку (над которой стоит автомат), куда передвинуться и в какое состояние перейти. Хотя команда может содержать и не все составляющие (например, не менять символ, не передвигаться или не менять внутреннего состояния).
Пример работы машины Тьюринга
Можно усложнить программу. Допустим, головка располагается не обязательно над первым, а над любым символом слова. Тогда программа для данной машины Тьюринга может быть такой (а могла бы быть и другой):
Здесь происходит сдвиг головки влево до тех пор, пока она не окажется над пустым символом. После этого машина переходит в состояние q2 (команды которого совпадают с командами q1 предыдущей программы).
Машина Тьюринга
Вы будете перенаправлены на Автор24
Машина Тьюринга — это абстрактный исполнитель или абстрактная вычислительная машина.
Введение
Машина Тьюринга является одним из наиболее выдающихся научных изобретений двадцатого века. Она представляла несложную и удобную абстрактную модель вычислительного процесса, которая представлена в обобщённом формате и позволяет реализовать практически все компьютерные задачи. Простое описание и выполненный математический анализ позволяют считать её фундаментом теоретической информатики.
Эта научная работа послужила стимулом к более углублённому изучению цифрового исчисления и компьютерных устройств, в том числе осознание мысли, что есть проблематика в сфере вычислений, которую нельзя решить на обычных электронных вычислительных машинах пользователей
Машина Тьюринга
Алан Тьюринг хотел выполнить описание самой простой модели механического модуля, который обладал бы такими же базовыми возможностями, как и компьютер. Первое описание такой машины Тьюринг опубликовал в 1936-ом году в работе с названием «О вычислимых числах в приложении к проблеме разрешения», появившейся в работах Лондонского математического сообщества.
Машина Тьюринга была вычислительным модулем, который состоит из сканера для чтения и записи информации с бумажной ленты, пропускаемой через него. Лента поделена на квадратики, несущие один знак, а именно нуль или единицу. Механизм предназначен для ввода и вывода информации и одновременно служит рабочей памятью для сохранения итогов промежуточных вычислительных шагов. Машина имеет в своём составе два компонента:
Готовые работы на аналогичную тему
Принцип работы машины Тьюринга
Машина Тьюринга принципиально отличается от компьютерных модулей, у неё в качестве запоминающего устройства выступает бесконечная лента, а у цифровых устройств память представляет полосу заданной длины. Любой тип заданий может решить лишь одна сформированная машина Тьюринга. Задания другого класса могут быть решены написанием другого алгоритма. Устройство управления находится в определённом состоянии и способно перемещаться в обе стороны вдоль ленты. Оно может записывать в ячейки и считывать из них алфавитные символы. При перемещении определяется пустой компонент, заполняющий места, которые не содержать входных данных. Алгоритм машины Тьюринга формирует условия перемещений управляющего механизма. Он может задать головке, выполняющей запись и чтение данных, следующие команды:
Машина Тьюринга подобно другим системам, предназначенным для вычислений, обладает определёнными особенностями, которые похожи на свойства алгоритмов:
Функции машины Тьюринга
Рисунок 1. Функции машины Тьюринга. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Программа для машины Тьюринга
Программа для машины Тьюринга формируется как таблицы, в которых в первой строчке и столбце находятся знаки внешнего алфавита и набор допустимых внутренних состояний автомата, то есть внутренний алфавит. Данные в таблице, по сути, это команды, которые должна исполнять машина Тьюринга. Разрешение задачи выполняется по следующим правилам. Символ, принятый сканером из ячейки, над которой он располагается в текущий момент, и определённое внутреннее состояние сканера автомата определяют, какую команду требуется исполнить. А именно, это команда, расположенная в таблице, и находящаяся в точке пересечения знаков внутреннего и внешнего алфавита.
Алгоритмы: машины Тьюринга
Основные определения
Рассматриваемая в этом разделе модель алгоритмов была предложена английским математиком Тьюрингом в 1937 г. еще до создания современных компьютеров 1 Аналогичная модель вычислений была примерно в то же время определена Е. Постом. Поэтому иногда такие машины называют машинами Тьюринга-Поста Он исходил из общей идеи моделирования работы вычислителя, оперирующего в соответствии с некоторым строгим предписанием. В машине Тьюринга расчленение процесса вычисления на элементарные шаги доведено в известном смысле до предела. Элементарным действием является замена одного символа в ячейке на другой и перемещение к соседней ячейке. При таком подходе процесс вычисления значительно удлиняется, но зато логическая структура процесса сильно упрощается и приобретает удобный для теоретического исследования вид.
включающая следующие компоненты:
задает сдвиг головки вправо, влево или на месте;
Будем говорить, что некоторый символ стирается, если он заменяется на пустой. Два слова из 
будем считать равными, если они совпадают после отбрасывания всех пустых символов слева и справа. Например, 
, но 
.
Аналогичное определение можно дать и для других спосбов кодирования чисел (двоичного, десятичного и др.). Ниже мы покажем, что класс вычислимых функций не зависит от выбора одного из таких кодирований.
Машина Тьюринга
Содержание
Машина Тьюринга (англ. Turing machine) — модель абстрактного вычислителя, предложенная британским математиком Аланом Тьюрингом в 1936 году. Эта модель позволила Тьюрингу доказать два утверждения. Первое — проблема останова неразрешима, т.е. не существует такой машины Тьюринга, которая способна определить, что другая произвольная машина Тьюринга на её ленте зациклится или прекратит работу. Второе — не существует такой машины Тьюринга, которая способна определить, что другая произвольная машина Тьюринга на её ленте когда-нибудь напечатает заданный символ. В этом же году был высказан тезис Чёрча-Тьюринга, который терминах теории рекурсии формулируется как точное описание интуитивного понятия вычислимости классом общерекурсивных функций. В этой формулировке часто упоминается как просто тезис Чёрча. В терминах вычислимости по Тьюрингу тезис гласит, что для любой алгоритмически вычислимой функции существует вычисляющая её значения машина Тьюринга. В виду того, что классы частично вычислимых по Тьюрингу и частично рекурсивных функций совпадают, утверждение объединяют в единый тезис Чёрча — Тьюринга.
Неформально машина Тьюринга определяется как устройство, состоящее из двух частей:
При запуске машины Тьюринга на ленте написано входное слово, причём на первом символе этого слова находится головка, а слева и справа от него записаны пустые символы. Каждый шаг головка может перезаписать символ под лентой и сместиться на одну ячейку, если автомат приходит в допускающее или отвергающее состояние, то работа машины Тьюринга завершается.
Определение [ править ]
Определение машины [ править ]
Отметим, что существуют различные вариации данного выше определения (например, без отвергающего состояния или с множеством допускающих состояний), которые не влияют на вычислительные способности машины Тьюринга.
Определение процесса работы [ править ]
Особо следует рассмотреть случай переходов по пробельному символу:
Для машины Тьюринга, которая пишет символ [math]B[/math] на ленту также можно дать аналогичное формальное определение. Оно будет отличаться тем, что символы в строчках конфигурации могут содержать пробелы, и для того, чтобы эти строчки имекли конечную длину, нужно аккуратно учесть наличие пробелов при записи правил перехода.
Результат работы [ править ]
Примеры машин-распознавателей и машин-преобразователей будут даны ниже.
Примеры машин Тьюринга [ править ]
Прибавление единицы [ править ]
Для начала приведём пример машины-преобразователя, которая прибавляет единицу к числу, записанному на ленте в двоичной записи от младшего бита к старшему. Алгоритм следующий:
| [math]0[/math] | [math]1[/math] | [math]B[/math] | |
| [math]S[/math] | [math]\langle R, 1, \downarrow \rangle[/math] | [math]\langle S, 0, \rightarrow \rangle[/math] | [math]\langle R, B, \leftarrow \rangle[/math] |
| [math]R[/math] | [math]\langle R, 0, \leftarrow \rangle[/math] | [math]\langle R, 1, \leftarrow \rangle[/math] | [math]\langle Y, B, \rightarrow \rangle[/math] |
Проверка того, является ли слово палиндромом [ править ]
| [math]0[/math] | [math]1[/math] | [math]B[/math] | |
| [math]S[/math] | [math]\langle F_0, B, \rightarrow \rangle[/math] | [math]\langle F_1, B, \rightarrow \rangle[/math] | [math]\langle Y, B, \downarrow \rangle[/math] |
| [math]F_0[/math] | [math]\langle F_0, 0, \rightarrow \rangle[/math] | [math]\langle F_0, 1, \rightarrow \rangle[/math] | [math]\langle B_0, B, \leftarrow \rangle[/math] |
| [math]F_1[/math] | [math]\langle F_1, 0, \rightarrow \rangle[/math] | [math]\langle F_1, 1, \rightarrow \rangle[/math] | [math]\langle B_1, B, \leftarrow \rangle[/math] |
| [math]B_0[/math] | [math]\langle R, B, \leftarrow \rangle[/math] | [math]\langle N, 1, \downarrow \rangle[/math] | [math]\langle Y, B, \downarrow \rangle[/math] |
| [math]B_1[/math] | [math]\langle N, 0, \downarrow \rangle[/math] | [math]\langle R, B, \leftarrow \rangle[/math] | [math]\langle Y, B, \downarrow \rangle[/math] |
| [math]R[/math] | [math]\langle R, 0, \leftarrow \rangle[/math] | [math]\langle R, 1, \leftarrow \rangle[/math] | [math]\langle S, B, \rightarrow \rangle[/math] |
Варианты машины Тьюринга [ править ]
В этом разделе приведены различные варианты машин Тьюринга, которые не отличаются от обычных машин Тьюринга по вычислительной мощности.
Многодорожечная машина Тьюринга [ править ]
Машина Тьюринга с полубесконечной лентой [ править ]
Заменив у машины Тьюринга бесконечную в обе стороны ленту на бесконечную в одну сторону, мы не теряем в вычислительной мощности. По произвольной машине Тьюринга строится двухдорожечная машина с полубесконечной лентой.
Существует алгоритм, по которому для любой машины Тьюринга может быть построена эквивалентная машина Тьюринга с объявленным свойством. Сначала занумеруем ячейки рабочей ленты машины Тьюринга с бесконечной лентой следующим образом:
Затем перенумеруем ячейки, и запишем символ [math]c \in \Pi \setminus \Sigma, B[/math] в начало ленты, который будет означать границу рабочей зоны:
Начальное состояние новой машины Тьюринга устанавливается в одной или другой зоне в зависимости от того, в какой части исходной ленты располагалась головка считывания-записи в исходной конфигурации.
Многоленточная машина Тьюринга [ править ]
Многоленточная машина с [math]n[/math] дорожками эмулируется многодорожечной машиной с [math]2n[/math] дорожками следующим образом: каждая нечётная дорожка соответствует ленте исходной машины, а на каждой чётной дорожке отмечены специальным символом [math]*[/math] позиция головки на ленте выше (считаем, что ленты нумеруются сверху вниз).
Каждый шаг исходной машины эмулируется конечной последовательностью шагов построенной машины следующим образом: исходно головка находится в позиции самой левой отметки и идёт вправо до самой правой отметки, запоминая прочитанные около символов [math]*[/math] символы в состоянии. Пройдя до самой правой отметки, головка возвращается влево, совершая необходимые действия (переписывая символы около отметок и передвигая сами отметки). После такого прохода головка переходит в следующее состояние, завершая эмуляцию шага.
Аланом Тьюрингом было сформулировано следующее утверждение:
| Утверждение (Тезис Чёрча-Тьюринга): |
и 
, а на последнем этапе все пометки удалить.
