Каким образом можно убедиться в справедливости второго закона ньютона с помощью машины атвуда

Проверка второго закона Ньютона на машине Атвуда

ЦЕЛЬ: установить зависимость ускорения системы от действующей силы; определить из полученной зависимости массу системы.

ОБОРУДОВАНИЕ: экспериментальная установка FRM ; электронный секундомер с фотоэлектрическими датчиками, линейка.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

где р = m v  импульс тела,

Для малых скоростей массу можно считать постоянной и вынести из-под знака дифференциала:

Масса. Опыт показывает, что одинаковые воздействия вызывают у разных тел различные изменения скорости. Одному и тому же телу различные силы сообщают различные ускорения. Однако отношение силы к ускорению для каждого тела всегда равно одной и той же величине:

Следовательно, масса является количественной мерой инертности тел. Под инертностью понимается свойство тел противиться изменению скорости. Отношение F/a = const справедливо только при достаточно малых скоростях.

где m 0 – константа, называемая массой покоя (масса тела при при v = 0),

с  скорость света в вакууме.

Определенная в формуле (5) масса тела m является функцией его скорости:

При v « c масса тела мало отличается от m 0 и соотношение (4) можно считать справедливым. Уравнения (1) и (3) формально эквивалентны. Однако это имеет место только при малых скоростях движения. Оказалось, что в релятивисткой динамике уравнения (1) и (2) остаются справедливыми, если массу определять в соответствии с выражением (6). Соотношение (3) при больших скоростях перестает быть справедливым.

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Рис. 1. Машина Атвуда.

Запишем второй закон Ньютона для груза m 1 :

Спроецируем его на ось x 1 :

Аналогично для груза m 2 :

В проекциях на ось x 2 : :

В силу принятых выше допущений

Складывая уравнения (7) и (8), получим:

Введем обозначения для суммарной массы системы:

и эффективной силы, численно равной разности сил тяжести грузов:

Тогда формула (9) примет вид:

с коэффициентом пропорциональности, обратным полной массе системы:

Тогда выражение (10) примет вид:

Логическая схема эксперимента

Для проверки пропорциональности между a и F каждая из этих величин должна быть определена независимым способом.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Определите взвешиванием массы грузов и перегрузков.

2. Установите левый груз в крайнее нижнее положение.

3. Поместите на правый груз большой перегрузок, на левый груз  все маленькие перегрузки.

4. Отпустите левый груз и измерьте время движения грузов, а также путь, пройденный одним из них.

5. Перенося по одному перегрузку с левого груза на правый, повторяйте опыт до тех пор, пока на левом грузе не останется ни одного перегрузка. Результаты измерений занесите в таблицу.

Источник

Изучение законов поступательного движения на машине Атвуда

Страницы работы

Содержание работы

Лабораторная работа №3

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАШИНЕ АТВУДА

Цель работы: проверить закон пути при равноускоренном прямолинейном движении и второй закон Ньютона.

Приборы и принадлежности: машина Атвуда и набор грузов.

Прямолинейное равноускоренное движение характеризуется постоянным линейным ускорением и равным нулю нормальным ускорением (a_n = 0, a_τ = const).

Законы кинематики для равноускоренного движения имеют вид:

Скорость тела в разных системах координат определяется законом сложения скоростей Галилея

где — скорость тела относительно неподвижной системы отсчета; — скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной; — скорость тела относительно подвижной системы отсчета.

Закон сложения скоростей Галилея и законы динамики Ньютона выполняются в системах отсчета, которые называются инерциальными.

Системы отсчета называются инерциальными, если они находятся в покое или движутся равномерно прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы.

Первый закон Ньютона: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного движения, пока и поскольку другие тела не выведут его из этого состояния.

Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Мерой инерции является масса.

Второй закон Ньютона: ускорение, с которым движется тело под действием силы, прямо пропорционально действующей силе и обратно пропорционально массе тела.

или

Третий закон Ньютона: силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей центры масс

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Значение ускорения можно установить из следующих соображений. На каждый груз будут действовать две силы: сила тяжести и сила реакции нити (см. рис. 1).

Рис. 1. Машина Атвуда

Под действием равнодействующей этих сил грузы движутся ускоренно, силами трения пренебрегаем. Если предположить, что нить нерастяжима, то ускорения правого и левого грузов будут равны по значению и противоположны по знаку. Кроме того, если считать блок невесомым, то силы натяжения нити справа и слева будут одинаковы. На основании второго закона Ньютона можно записать:

Спроектируем cилы на ось У. Тогда уравнения динамики примут вид:

Решением этой системы линейных уравнений будет ускорение

(1)

Итак, ускорение прямо пропорционально весу перегрузка mg и обратно пропорционально массе системы тел (2m₀ + m).

На лабораторной установке можно изменять массу перегрузка, а также производить измерения на разных отрезках пути.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание 1. Проверить закон пути равноускоренного движения

Закон показывает квадратичную зависимость пути от времени

Ускорение же системы определяется по формуле (1) и зависит от массы системы. Если масса системы и масса перегрузка не изменяется, то система движется с одинаковым ускорением на разных участках пути.

Для выполнения задания 1 положите на правую платформу прибора (рис. 1) перегрузок m.

2) Установите платформу с перегрузком в самое верхнее положение, а фотодиод 5 установите на заданном расстоянии S на стойке. (Расстояние можете выбрать произвольно).

3) Измерьте время падения грузов на расстоянии S₁ с помощью электронного секундомера 4. Запишите время t₁ в табл. 1,

4) Повторите опыт, установив платформу на других расстояниях S_i.

Источник

Изучение второго закона Ньютона с помощью машины Атвуда

Цель работы: проверить второй закон Ньютона.

Оборудование: машин Атвуда, перегрузки, электронный секундомер.

Одним из основных законов всей физики является второй закон Ньютона.

Он гласит: ускорение, которое приобретает материальная точка под действием силы, прямо пропорционально величине этой силы, обратно пропорционально

массе материальной точки и направлено в сторону действия силы:

Если на материальную точку действует несколько сил, то ускорение определяется геометрической сумой всех сил, называемой равнодействующей всех сил:

a = ∑ Fi

и направлено в сторону равнодействующей силы.

В том случае, когда силы действует не на материальную точку, а на массивное тело конечных размеров, второй закон Ньютона справедлив для центра масс этого тела. То есть ускорение центра масс тела прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на тело, и обратно пропорционально массе всего тела. Однако обычно тела конечных размеров имеют достаточно малые размеры по сравнению с расстоянием, которое они проходят, поэтому их вполне можно считать материальными точками.

Для проверки второго закона Ньютона нужно, прежде всего, исследовать зависимость ускорения тела от действующей на него силы. Для этого нужно

менять силу, оставляя постоянной массу тела. Для проверки зависимости ускорения от массы нужно менять массу тела при неизменной силе,

действующей на тело.

Прежде чем приступать к рассмотрению экспериментальной установки рассмотрим вспомогательную задачу: через блок перекинута нить, к концам

которой прикреплены грузы, требуется найти ускорение, с которым движутся грузы.

Для решения задач динамики следует придерживаться следующей схемы:

1. Построить схематический рисунок по задаче, на котором изобразить все силы, действующие на каждое из тел, участвующих в движении.

2. Для каждого из тел, участвующих в движении, записать второй закон

Ньютона в векторной форме (2.2). Особо нужно отметить, что в правую часть формулы (2.2) все силы входят со знаком «+» как векторы.

3. Выбрать систему координат. Система координат может быть выбрана отдельно для каждого тела, участвующего в движении. Для оптимального выбора системы координат оси координат следует направлять по тому

направлению, в котором направлено большинство сил. Это позволит уменьшить количество ненулевых проекций сил. Если все силы, действующие на данное тело, параллельны одной прямой (линейная система сил), то систему координат можно выбрать только в виде одной оси, параллельной всем силам, действующим на данное тело. Если все силы, действующие на данное тело, параллельны некоторой плоскости (плоская система сил), то достаточно выбрать только две оси, лежащие в плоскости, параллельной всем силам, действующим на данное тело. При этом опять оси координат должны быть взаимно перпендикулярны и направлены параллельно как можно большему числу сил. И, наконец, если система сил произвольная, то нужно определять все три оси координат.

4. Спроецировать каждое векторное равенство, соответствующее второму закону Ньютона, на все оси координат. Сначала спроецировать векторное равенство формально, т.е. записать это равенство заново с теми же самыми знаками у слагаемых сил, только убрать символ вектора (стрелочку над обозначением данного вектора) и указать символ проекции (т.е. индекс оси, на которую выполняется проецирование, внизу справа около обозначения вектора). После этого определить знаки проекций, т.е. выразить проекции через модули векторов с указанием конкретного знака проекции, если это возможно.

5. В результате получится несколько алгебраических уравнений, в которых некоторые параметры оказываются неизвестными. Эти уравнения и

нужно решить как систему относительно неизвестных. Однако часто бывает,

что количество неизвестных больше, чем уравнений. В этом случае система оказывается неопределённой. Для её определения нужно добавить некоторые

уравнения. Эти уравнения могут быть получены из уравнений кинематики, связывающих между собой кинематические характеристики. В качестве добавочных уравнений могут быть уравнения, полученные из некоторых

дополнительных условий. А именно, если тела связаны невесомыми связями (невесомые нити), то усилия на придание связям ускорения равны нулю. Это значит, что сила натяжения связи на её одном конце равна силе натяжения этой

связи на другом конце. Если связь нерастяжима, то перемещение одного её конца вдоль связи за некоторый промежуток времени равно перемещению её второго конца. Отсюда следует, что и скорость и ускорение концов связи вдоль

этой связи будут одинаковыми.

6. Решить систему полученных уравнений относительно требуемых неизвестных.

Применим эту схему к решению поставленной задачи.

1. Схема задачи представлена на рис. 2.1.

r r T4 T3 r r T2 T1

Рис.2.1.Силы, действующие на систему тел

На тела действует сила тяжести и сила натяжения нитей. На блок сила натяжения нитей и сила реакции со стороны оси, вокруг которой блок вращается (на рис. не показана).

2. В данном случае в движении участвуют три тела: два тела, подвешенные к нитям, и блок. Поэтому уравнений Ньютона будет три. Уравнение поступательного движения для первого тела:

и уравнение вращательного движения для блока:

где I – момент инерции блока,

εr – угловое ускорение,

– моменты сил натяжения нитей, действующих на блок.

4. Тогда проекции уравнений (2.3)-(2.5) будут иметь вид

Поскольку направление ускорения тел заранее неизвестно (оно зависит от соотношения масс тел), то конкретизировать их знаки не будем. Ускорение

значит, проекция его положительна. Силы r r

направлены вверх, значит, их

проекции отрицательны. Момент силы

T4 относительно оси вращения

проекции отрицательна. Так что уравнения (2.6)-(2.7) перепишутся по-другому:

В данных уравнениях мы выразили проекции векторов через их модули, о чём говорит тот факт, что обозначения величин не имеют ни символа вектора, ни символа проекции.

Моменты сил по модулю равны произведению модуля сил на плечо:

где R есть радиус блока.

Так что вместо третьего уравнения можно использовать уравнение:

5. Неизвестными в этой системе уравнений являются следующие: ускорения трёх тел, участвующих в движении; величины сил натяжения нити в начале и в конце прямолинейного участка, таких неизвестных четыре. Всего получается 7 неизвестных, а уравнений только три. Так что требуется ещё 4 уравнения. Для отыскания этих уравнений воспользуемся прежде всего тем фактом, что нить невесома. Тогда силы натяжения на разных концах нитей будут равны:

Это и есть недостающее уравнение системы. Выпишем теперь все уравнения:

Источник

Изучение законов поступательного движения на машине Атвуда: формулы и пояснения

Использование простых механизмов в физике позволяет изучать различные природные процессы и законы. Одним из этих механизмов является машина Атвуда. Рассмотрим в статье, что она собой представляет, для чего используется, и какие формулы описывают принцип ее работы.

Что такое машина Атвуда?

Названная машина представляет собой простой механизм, состоящий из двух грузов, которые соединены переброшенной через неподвижный блок нитью (веревкой). В данном определении следует пояснить несколько нюансов. Во-первых, массы грузов в общем случае являются разными, что обеспечивает наличие у них ускорения под действием силы тяжести. Во-вторых, нить, связывающая грузы, считается невесомой и нерастяжимой. Эти предположения значительно облегчают последующие расчеты уравнений движения. Наконец, в-третьих, неподвижный блок, через который переброшена нить, также считается невесомым. Кроме того, во время его вращения пренебрегают силой трения. Ниже на схематическом рисунке показана эта машина.

Вам будет интересно: Пространственная экономика: описание специальностей и структура

Вам будет интересно: Что такое подполье? Подпольная организация «Молодая гвардия». Антифашистское движение

Машина Атвуда была изобретена английским физиком Джорджем Атвудом в конце XVIII века. Служит она для изучения законов поступательного движения, точного определения ускорения свободного падения и экспериментальной проверки второго закона Ньютона.

Уравнения динамики

Каждый школьник знает, что ускорение у тел появляется только в том случае, если на них оказывают действие внешние силы. Данный факт был установлен Исааком Ньютоном в XVII веке. Ученый изложил его в следующем математическом виде:

Где m – инерционная масса тела, a – ускорение.

Изучение законов поступательного движения на машине Атвуда предполагает знание соответствующих уравнений динамики для нее. Предположим, что массы двух грузов равны m1 и m2, причем m1>m2. В таком случае первый груз будет перемещаться вниз под действием силы тяжести, а второй груз будет двигаться вверх под действием силы натяжения нити.

Рассмотрим, какие силы действуют на первый груз. Их две: сила тяжести F1 и сила натяжения нити T. Силы направлены в разных направлениях. Учитывая знак ускорения a, с которым перемещается груз, получаем следующее уравнение движения для него:

Что касается второго груза, то на него действуют силы той же природы, что и на первый. Поскольку второй груз движется с ускорением a, направленным вверх, то уравнение динамики для него принимает вид:

Таким образом, мы записали два уравнения, в которых содержатся две неизвестных величины (a и T). Это означает, что система имеет однозначное решение, которое будет получено далее в статье.

Расчет уравнений динамики для равноускоренного движения

Как мы видели из записанных выше уравнений, результирующая сила, действующая на каждый груз, остается неизменной в процессе всего движения. Масса каждого груза также не меняется. Это означает, что ускорение a будет постоянным. Такое движение называют равноускоренным.

Изучение равноускоренного движения на машине Атвуда заключается в определении этого ускорения. Запишем еще раз систему динамических уравнений:

Чтобы выразить значение ускорения a, сложим оба равенства, получаем:

Подставляя явное значение сил тяжести для каждого груза, получаем конечную формулу для определения ускорения:

Отношение разницы масс к их сумме называют числом Атвуда. Обозначим его na, тогда получим:

Проверка решения уравнений динамики

Выше мы определили формулу для ускорения машины Атвуда. Она является справедливой только в том случае, если справедлив сам закон Ньютона. Проверить этот факт можно на практике, если провести лабораторную работу по измерению некоторых величин.

Лабораторная работа с машиной Атвуда является достаточно простой. Суть ее заключается в следующем: как только грузы, находящиеся на одном уровне от поверхности, отпустили, необходимо засечь время движения грузов секундомером, а затем, измерить расстояние, на которое переместился любой из грузов. Предположим, что соответствующие время и расстояние равны t и h. Тогда можно записать кинематическое уравнение равноускоренного движения:

Откуда ускорение определяется однозначно:

Отметим, что для увеличения точности определения величины a, следует проводить несколько экспериментов по измерению hi и ti, где i – номер измерения. После вычисления значений ai, следует рассчитать среднюю величину acp из выражения:

Где m – количество измерений.

Приравнивая это равенство и полученное ранее, приходим к следующему выражению:

Если данное выражение оказывается справедливым, то таковым также будет и второй закон Ньютона.

Расчет силы тяжести

Выше мы предположили, что значение ускорения свободного падения g нам известно. Однако при помощи машины Атвуда определение силы тяжести также оказывается возможным. Для этого вместо ускорения a из уравнений динамики следует выразить величину g, имеем:

Чтобы найти g, следует знать, чему равно ускорение поступательного перемещения. В пункте выше мы уже показали, как его находить экспериментальным путем из уравнения кинематики. Подставляя формулу для a в равенство для g, имеем:

Вычислив значение g, несложно определить силу тяжести. Например, для первого груза ее величина будет равна:

Определение силы натяжения нити

Сила T натяжения нити является одним из неизвестных параметров системы динамических уравнений. Выпишем еще раз эти уравнения:

Если в каждом равенстве выразить a, и приравнять оба выражения, тогда получим:

T = (m2*F1 + m1*F2)/(m1 + m2).

Подставляя явные значения сил тяжести грузов, приходим к конечной формуле для силы натяжения нити T:

Машина Атвуда имеет не только теоретическую пользу. Так, подъемник (лифт) использует при своей работе контргруз с целью подъема на высоту полезного груза. Такая конструкция значительно облегчает работу двигателя.

Источник

Методические указания к лабораторной работе «Машина Атвуда»

Экспериментальная проверка основных уравнений и законов поступательного движения тела в поле сил земного тяготения, определение ускорения свободного падения лабораторной установке – машине Атвуда.

Время движения грузов измеряется с помощью ручного или стационарного секундомера.

Для выполнения работы машина Атвуда должна быть установлена строго вертикально, что легко проверить по параллельности шкалы и нити.

Второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось для каждого из тел системы (рис.2) в предположении невесомости блока, отсутствия силы трения и нерастяжимости нити дает:

(1)

(2)

Так как начальная скорость в опытах на машине Атвуда обычно равна нулю и движение условно начинается из начала координат, то

(3)

Третье соотношение часто называют законом перемещений: «Перемещение при равноускоренном движении прямо пропорционально квадрату времени движения».

Соотношение (3) может быть проверено экспериментально на машине Атвуда. Кроме того, машина Атвуда дает возможность экспериментально проверить второй закон Ньютона для поступательного движения: «Ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально равнодействующей действующих на него сил и обратно пропорционально массе этого тела».

Подставляя a _i в (2) получаем следующую формулу:

(4)

(5)

— сумма проекций на ось Z всех сил, действующих на вращающиеся тело; α- угловое ускорение блока; J – его момент инерции

(6)

Выразим из уравнения (1) разность сил натяжения ( T ₁ – T ₂ ) и подставив ее в уравнение (6) получим:

(7)

Выразим ускорение грузов a :

(8)

Учитывая, что значение момента инерции блока

(9),

k- коэффициент распределения массы блока относительно оси вращения (k

11)

Задание 1. Проверка второго закона Ньютона.

Поскольку ускорение движения является функцией двух переменных – силы и массы, то изучение второго закона Ньютона выполняется путем раздельного исследования двух зависимостей: 1) зависимости ускорения от действующей силы при постоянной массе системы и 2) зависимости ускорения от массы системы при постоянной действующей силе.

Исследование зависимости ускорения от силы при постоянной массе

Измерения и обработка результатов

3. Измеряют время равноускоренного движения системы на пути, например, 1 метр. Все данные заносят в таблицу 1.3 отчета.

4. Пользуясь законом путей (1.6), вычисляют ускорение а.

5. Поводят еще 5-6 опытов, последовательно увеличивая массу перегрузков.

6. Строят график зависимости ускорения движения от действующей силы. Точку ( F =0, a =0) на графике не откладывают. Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом и прямая проходит через начало координат, то можно сделать вывод о том, что ускорение действительно прямо пропорционально силе.

7. По угловому коэффициенту полученной прямой определяют массу системы и сравнивают ее реальной массой.

Исследование зависимости ускорения от массы при постоянной силе

Измерения и обработка результатов

1. Все опыты проводят с одним и тем же перегрузком, т.е. при постоянной действующей силе. Ускорение системы измеряется также как и в предыдущем задании.

2. Для изменения массы системы одновременно на правый и левый груз кладут дополнительные одинаковые грузы. Все данные записывают в таблицу отчета.

3. График обратно пропорциональной зависимости ускорения от массы представляет собой гиперболу, которую невозможно идентифицировать. Для проверки предположения об обратно пропорциональной зависимости между ускорением и массой необходимо построить график зависимости ускорения от обратного значения массы системы: a = f (М -1 ). Подтверждением предположения является прямолинейность этого графика.

4. По угловому коэффициенту полученной прямой определяют значение приложенной силы и сравнивают ее с реально действующей в системе

Задание 2. Определение ускорения движения грузов

В полученном уравнении прямой коэффициент k равен половине ускорения системы: k=a/2. Это позволяет вычислить ускорение грузов ( a =2 k ) в данном опыте и определить погрешность его измерения. Произведите необходимые вычисления и занесите результаты в отчет.

Задание 3. Определение ускорения свободного падения

(Выполняется по результатам измерений и вычислений, проведенных в первом и втором заданиях). Зная массы грузов и перегрузка, а также ускорение движения системы, из формулы (3) найдите ускорение свободного падения. Результаты занесите в отчет. В выводе сравните полученный результат с табличной величиной.

Для нахождения погрешности измерения величины ускорения свободного падения Δ g используем формулу:

12)

где ; ; ; ;

– частные производные функции

Проанализируйте результаты своих наблюдений и сформулируйте вывод.

Контрольные вопросы

Какое движение называется поступательным?

Дайте определение инерциальной системы отсчета. Приведите примеры ИСО.

Сформулируйте первый закон Ньютона. Приведите примеры его проявления.

Дайте определение инертной массы тела. Гравитационной? От чего и как зависит масса тела?

Сформулируйте второй закон Ньютона. Приведите варианты его математической формы.

Покажите все силы, действующие на один из грузов в машине Атвуда, и составьте для него уравнение динамики.

Запишите систему уравнений динамики для машины Атвуда с учетом момента инерции блока. Силы трения в блоке?

Источник