Машина Тьюринга (англ. Turing machine) — модель абстрактного вычислителя, предложенная британским математиком Аланом Тьюрингом в 1936 году. Эта модель позволила Тьюрингу доказать два утверждения. Первое — проблема останова неразрешима, т.е. не существует такой машины Тьюринга, которая способна определить, что другая произвольная машина Тьюринга на её ленте зациклится или прекратит работу. Второе — не существует такой машины Тьюринга, которая способна определить, что другая произвольная машина Тьюринга на её ленте когда-нибудь напечатает заданный символ. В этом же году был высказан тезис Чёрча-Тьюринга, который терминах теории рекурсии формулируется как точное описание интуитивного понятия вычислимости классом общерекурсивных функций. В этой формулировке часто упоминается как просто тезис Чёрча. В терминах вычислимости по Тьюрингу тезис гласит, что для любой алгоритмически вычислимой функции существует вычисляющая её значения машина Тьюринга. В виду того, что классы частично вычислимых по Тьюрингу и частично рекурсивных функций совпадают, утверждение объединяют в единый тезис Чёрча — Тьюринга.
Неформально машина Тьюринга определяется как устройство, состоящее из двух частей:
При запуске машины Тьюринга на ленте написано входное слово, причём на первом символе этого слова находится головка, а слева и справа от него записаны пустые символы. Каждый шаг головка может перезаписать символ под лентой и сместиться на одну ячейку, если автомат приходит в допускающее или отвергающее состояние, то работа машины Тьюринга завершается.
Определение [ править ]
Определение машины [ править ]
Отметим, что существуют различные вариации данного выше определения (например, без отвергающего состояния или с множеством допускающих состояний), которые не влияют на вычислительные способности машины Тьюринга.
Определение процесса работы [ править ]
Особо следует рассмотреть случай переходов по пробельному символу:
Для машины Тьюринга, которая пишет символ [math]B[/math] на ленту также можно дать аналогичное формальное определение. Оно будет отличаться тем, что символы в строчках конфигурации могут содержать пробелы, и для того, чтобы эти строчки имекли конечную длину, нужно аккуратно учесть наличие пробелов при записи правил перехода.
Результат работы [ править ]
Примеры машин-распознавателей и машин-преобразователей будут даны ниже.
Примеры машин Тьюринга [ править ]
Прибавление единицы [ править ]
Для начала приведём пример машины-преобразователя, которая прибавляет единицу к числу, записанному на ленте в двоичной записи от младшего бита к старшему. Алгоритм следующий:
[math]0[/math]
[math]1[/math]
[math]B[/math]
[math]S[/math]
[math]\langle R, 1, \downarrow \rangle[/math]
[math]\langle S, 0, \rightarrow \rangle[/math]
[math]\langle R, B, \leftarrow \rangle[/math]
[math]R[/math]
[math]\langle R, 0, \leftarrow \rangle[/math]
[math]\langle R, 1, \leftarrow \rangle[/math]
[math]\langle Y, B, \rightarrow \rangle[/math]
Проверка того, является ли слово палиндромом [ править ]
[math]0[/math]
[math]1[/math]
[math]B[/math]
[math]S[/math]
[math]\langle F_0, B, \rightarrow \rangle[/math]
[math]\langle F_1, B, \rightarrow \rangle[/math]
[math]\langle Y, B, \downarrow \rangle[/math]
[math]F_0[/math]
[math]\langle F_0, 0, \rightarrow \rangle[/math]
[math]\langle F_0, 1, \rightarrow \rangle[/math]
[math]\langle B_0, B, \leftarrow \rangle[/math]
[math]F_1[/math]
[math]\langle F_1, 0, \rightarrow \rangle[/math]
[math]\langle F_1, 1, \rightarrow \rangle[/math]
[math]\langle B_1, B, \leftarrow \rangle[/math]
[math]B_0[/math]
[math]\langle R, B, \leftarrow \rangle[/math]
[math]\langle N, 1, \downarrow \rangle[/math]
[math]\langle Y, B, \downarrow \rangle[/math]
[math]B_1[/math]
[math]\langle N, 0, \downarrow \rangle[/math]
[math]\langle R, B, \leftarrow \rangle[/math]
[math]\langle Y, B, \downarrow \rangle[/math]
[math]R[/math]
[math]\langle R, 0, \leftarrow \rangle[/math]
[math]\langle R, 1, \leftarrow \rangle[/math]
[math]\langle S, B, \rightarrow \rangle[/math]
Варианты машины Тьюринга [ править ]
В этом разделе приведены различные варианты машин Тьюринга, которые не отличаются от обычных машин Тьюринга по вычислительной мощности.
Многодорожечная машина Тьюринга [ править ]
Машина Тьюринга с полубесконечной лентой [ править ]
Заменив у машины Тьюринга бесконечную в обе стороны ленту на бесконечную в одну сторону, мы не теряем в вычислительной мощности. По произвольной машине Тьюринга строится двухдорожечная машина с полубесконечной лентой.
Существует алгоритм, по которому для любой машины Тьюринга может быть построена эквивалентная машина Тьюринга с объявленным свойством. Сначала занумеруем ячейки рабочей ленты машины Тьюринга с бесконечной лентой следующим образом:
Затем перенумеруем ячейки, и запишем символ [math]c \in \Pi \setminus \Sigma, B[/math] в начало ленты, который будет означать границу рабочей зоны:
Начальное состояние новой машины Тьюринга устанавливается в одной или другой зоне в зависимости от того, в какой части исходной ленты располагалась головка считывания-записи в исходной конфигурации.
[math]\triangleleft[/math]
Многоленточная машина Тьюринга [ править ]
Многоленточная машина с [math]n[/math] дорожками эмулируется многодорожечной машиной с [math]2n[/math] дорожками следующим образом: каждая нечётная дорожка соответствует ленте исходной машины, а на каждой чётной дорожке отмечены специальным символом [math]*[/math] позиция головки на ленте выше (считаем, что ленты нумеруются сверху вниз).
Каждый шаг исходной машины эмулируется конечной последовательностью шагов построенной машины следующим образом: исходно головка находится в позиции самой левой отметки и идёт вправо до самой правой отметки, запоминая прочитанные около символов [math]*[/math] символы в состоянии. Пройдя до самой правой отметки, головка возвращается влево, совершая необходимые действия (переписывая символы около отметок и передвигая сами отметки). После такого прохода головка переходит в следующее состояние, завершая эмуляцию шага.
Аланом Тьюрингом было сформулировано следующее утверждение:
Утверждение (Тезис Чёрча-Тьюринга):
Иными словами, тезис говорит о том, что любой алгоритм можно запрограммировать на машине Тьюринга.
Универсальная машина Тьюринга [ править ]
Существует машина Тьюринга, которая принимает на вход закодированное описание произвольной машины и входную строку и эмулирует работу закодированной машины на заданном входном слове. Иными словами, универсальный язык перечислим с помощью машины Тьюринга. Ссылки на явные конструкции универсальных машин Тьюринга приведены ниже.
Маши́на Тью́ринга (МТ) — абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина). Была предложена Аланом Тьюрингом в 1936 году для формализации понятия алгоритма.
Машина Тьюринга является расширением конечного автомата и, согласно тезису Чёрча — Тьюринга, способна имитировать все другие исполнители (с помощью задания правил перехода), каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен.
Содержание
Устройство машины Тьюринга
В состав машины Тьюринга входит бесконечная в обе стороны лента (возможны машины Тьюринга, которые имеют несколько бесконечных лент), разделённая на ячейки, и управляющее устройство, способное находиться в одном из множества состояний. Число возможных состояний управляющего устройства конечно и точно задано.
Управляющее устройство может перемещаться влево и вправо по ленте, читать и записывать в ячейки ленты символы некоторого конечного алфавита. Выделяется особый пустой символ, заполняющий все клетки ленты, кроме тех из них (конечного числа), на которых записаны входные данные.
Управляющее устройство работает согласно правилам перехода, которые представляют алгоритм, реализуемый данной машиной Тьюринга. Каждое правило перехода предписывает машине, в зависимости от текущего состояния и наблюдаемого в текущей клетке символа, записать в эту клетку новый символ, перейти в новое состояние и переместиться на одну клетку влево или вправо. Некоторые состояния машины Тьюринга могут быть помечены как терминальные, и переход в любое из них означает конец работы, остановку алгоритма.
Машина Тьюринга называется детерминированной, если каждой комбинации состояния и ленточного символа в таблице соответствует не более одного правила. Если существует пара «ленточный символ — состояние», для которой существует 2 и более команд, такая машина Тьюринга называется недетерминированной.
Описание машины Тьюринга
Конкретная машина Тьюринга задаётся перечислением элементов множества букв алфавита A, множества состояний Q и набором правил, по которым работает машина. Они имеют вид: qiaj→qi1aj1dk (если головка находится в состоянии qi, а в обозреваемой ячейке записана буква aj, то головка переходит в состояние qi1, в ячейку вместо aj записывается aj1, головка делает движение dk, которое имеет три варианта: на ячейку влево (L), на ячейку вправо (R), остаться на месте (N)). Для каждой возможной конфигурации имеется ровно одно правило (для недетерминированной машины Тьюринга может быть большее количество правил). Правил нет только для заключительного состояния, попав в которое машина останавливается. Кроме того, необходимо указать конечное и начальное состояния, начальную конфигурацию на ленте и расположение головки машины.
Пример машины Тьюринга
Приведём пример МТ для умножения чисел в унарной системе счисления. Машина работает по следующему набору правил:
Набор правил
Набор правил
q0*→q0*R
q4a→q4aR
q01→q01R
q4=→q4=R
q0×→q1×R
q41→q41R
q11→q2aR
q4*→q51R
q21→q21L
q5 →q2*L
q2a→q2aL
q6a→q61R
q2=→q2=L
q6×→q7×R
q2×→q3×L
q7a→q7aR
q31 → q4aR
q71→q2aR
q3a→q3aL
q7=→q8=L
q3*→q6*R
q8a→q81L
q4×→q4×R
q8×→q9×H
Умножим с помощью МТ 3 на 2 в единичной системе:
В протоколе указаны начальное и конечное состояния МТ, начальная конфигурация на ленте и расположение головки машины (подчёркнутый символ).
Полнота по Тьюрингу
Можно сказать, что машина Тьюринга представляет собой простейшую вычислительную машину с линейной памятью, которая согласно формальным правилам преобразует входные данные с помощью последовательности элементарных действий.
Элементарность действий заключается в том, что действие меняет лишь небольшой кусочек данных в памяти (в случае машины Тьюринга — лишь одну ячейку), и число возможных действий конечно. Несмотря на простоту машины Тьюринга, на ней можно вычислить всё, что можно вычислить на любой другой машине, осуществляющей вычисления с помощью последовательности элементарных действий. Это свойство называется полнотой.
Один из естественных способов доказательства того, что алгоритмы вычисления, которые можно реализовать на одной машине, можно реализовать и на другой, — это имитация первой машины на второй.
Имитация заключается в следующем. На вход второй машине подаётся описание программы (правил работы) первой машины и входные данные , которые должны были поступить на вход первой машины. Нужно описать такую программу (правила работы второй машины), чтобы в результате вычислений на выходе оказалось то же самое, что вернула бы первая машина, если бы получила на вход данные .
Как было сказано, на машине Тьюринга можно имитировать (с помощью задания правил перехода) все другие исполнители, каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен.
На машине Тьюринга можно имитировать машину Поста, нормальные алгоритмы Маркова и любую программу для обычных компьютеров, преобразующую входные данные в выходные по какому-либо алгоритму. В свою очередь, на различных абстрактных исполнителях можно имитировать Машину Тьюринга. Исполнители, для которых это возможно, называются полными по Тьюрингу (Turing complete).
Есть программы для обычных компьютеров, имитирующие работу машины Тьюринга. Но следует отметить, что данная имитация неполная, так как в машине Тьюринга присутствует абстрактная бесконечная лента. Бесконечную ленту с данными невозможно в полной мере имитировать на компьютере с конечной памятью (суммарная память компьютера — оперативная память, жёсткие диски, различные внешние носители данных, регистры и кэш процессора и др. — может быть очень большой, но, тем не менее, всегда конечна).
Варианты машины Тьюринга
Модель машины Тьюринга допускает расширения. Можно рассматривать машины Тьюринга с произвольным числом лент и многомерными лентами с различными ограничениями. Однако все эти машины являются полными по Тьюрингу и моделируются обычной машиной Тьюринга.
Машина Тьюринга, работающая на полубесконечной ленте
В качестве примера такого сведения рассмотрим следующую теорему: Для любой машины Тьюринга существует эквивалентная машина Тьюринга, работающая на полубесконечной ленте.
Рассмотрим доказательство, приведённое Ю. Г. Карповым в книге «Теория автоматов». Доказательство этой теоремы конструктивное, то есть мы дадим алгоритм, по которому для любой машины Тьюринга может быть построена эквивалентная машина Тьюринга с объявленным свойством. Во-первых произвольно занумеруем ячейки рабочей ленты МТ, то есть определим новое расположение информации на ленте:
Затем перенумеруем ячейки, причём будем считать, что символ «*» не содержится в словаре МТ:
Наконец, изменим машину Тьюринга, удвоив число её состояний, и изменим сдвиг головки считывания-записи так, чтобы в одной группе состояний работа машины была бы эквивалентна её работе в заштрихованной зоне, а в другой группе состояний машина работала бы так, как исходная машина работает в незаштрихованной зоне. Если при работе МТ встретится символ ‘*’, значит головка считывания-записи достигла границы зоны:
Начальное состояние новой машины Тьюринга устанавливается в одной или другой зоне в зависимости от того, в какой части исходной ленты располагалась головка считывания-записи в исходной конфигурации. Очевидно, что слева от ограничивающих маркеров «*» лента в эквивалентной машине Тьюринга не используется.
Двумерные машины Тьюринга
См. также
Другие абстрактные исполнители и формальные системы вычислений
Ссылки
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Машина Тьюринга» в других словарях:
Машина тьюринга — (МТ) абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина). Была предложена Аланом Тьюрингом в 1936 году для формализации понятия алгоритма. Машина Тьюринга является расширением конечного автомата и, согласно тезису Чёрча Тьюринга, способна … Википедия
Машина Тьюринга — математическое построение, предназначенное для уточнения понятия алгоритма. Машина Тьюринга состоит: из неограниченной в обе стороны ленты, разделенной на ячейки; из головка чтения/записи, которая может перемещаться вдоль ленты. Программа для… … Финансовый словарь
машина Тьюринга — Теоретическая модель вычислительного устройства; предложена Аланом Тьюрингом. [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index&d=4890] Тематики защита информации EN Turing machine … Справочник технического переводчика
машина Тьюринга — Turing o mašina statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Turing machine vok. Turing Maschine, f rus. машина Тьюринга, f pranc. machine de Turing, f ryšiai: sinonimas – Tiuringo mašina … Automatikos terminų žodynas
«МАШИНА ТЬЮРИНГА» — абстрактная вычислит. машина, предполагающая максимально простую логич. структуру и наличие бесконечной внеш. памяти, напр., в виде неогранич. с обеих сторон ленты, раздел. на ячейки. Идея М. Т. была предложена англ. математиком А. М. Тьюрингом… … Большой энциклопедический политехнический словарь
Машина Тьюринга для умножения чисел — Машина Тьюринга (МТ) абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина). Была предложена Аланом Тьюрингом в 1936 году для формализации понятия алгоритма. Машина Тьюринга является расширением конечного автомата и, согласно тезису Чёрча… … Википедия
машина Тьюринга с несколькими магнитными лентами — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN multitape Turing machine … Справочник технического переводчика
Детерминированная машина Тьюринга — Машина Тьюринга (МТ) абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина). Была предложена Аланом Тьюрингом в 1936 году для формализации понятия алгоритма. Машина Тьюринга является расширением конечного автомата и, согласно тезису Чёрча… … Википедия
Недетерминированная машина Тьюринга — Машина Тьюринга Варианты машин Универсальная машина Тьюринга Квантовая машина Тьюринга en:Read only Turing machine en:Read only right moving Turing Machines Вероятностная машина Тьюринга Недетер … Википедия
Вероятностная машина Тьюринга — Машина Тьюринга Варианты машин Универсальная машина Тьюринга Квантовая машина Тьюринга en:Read only Turing machine en:Read only right moving Turing Machines Вероятностная машина Тьюринга Не … Википедия
Таким образом, наш план таков. Мы опишем довольно просто определяемый класс машин (его можно выбирать по-разному, мы будем использовать так называемые машины Тьюринга), затем объявим, что всякая вычислимая функция может быть вычислена на такой машине, а затем покажем, что вопрос об остановке машины Тьюринга можно свести к вопросу о равенстве слов в полугруппе.
Другая причина, по которой важны простые вычислительные модели (таких моделей много разные виды машин Тьюринга, адресные машины и т.п.), связана с теорией сложности вычислений, когда нас начинает интересовать время выполнения программ. Но этот вопрос выходит за рамки классической теории алгоритмов.
Машины Тьюринга: определение
Таким образом, чтобы задать машину Тьюринга, надо указать следующие объекты:
Таким образом, любая машина Тьюринга задает некоторую частичную функцию на двоичных словах. Все такие функции естественно назвать вычислимыми на машинах Тьюринга.
Машины Тьюринга: обсуждение
Имея еще чуть больше опыта, можно понять, что в этом описании есть ошибка не предусмотрен механизм остановки, когда все слово будет скопировано, поскольку копии символов ничем не отличаются от символов исходного слова. Ясно и то, как ошибку исправить надо в качестве копий писать специальные символы и , а на последнем этапе все пометки удалить.
77. Покажите, что функция » обращение», переворачивающая слово задом наперед, вычислима на машине Тьюринга.
Утверждение о том, что всякая вычислимая функция вычислима на машине Тьюринга, называют тезисом Тьюринга. Конечно, его смысл зависит от того, что понимать под словами » вычислимая функция «. Если понимать их в расплывчато-интуитивном смысле (» функция вычисляется алгоритмически, то есть по четким, недвусмысленным, однозначным правилам» или что-то в таком роде), конечно, ни о каком доказательстве тезиса Тьюринга не может быть речи. Можно лишь говорить, что многовековая практика человечества от Евклида до Кнута не встретилась с примером алгоритма, который нельзя было бы записать как программу машины Тьюринга и т.п. Впрочем, еще один (не слишком убедительный) аргумент приведен ниже.
Алгоритмы. Машина Тьюринга. Альтернативные определения алгоритма. Теория вычислимости и проблема останова.
Мы часто решаем задачи различной сложности: бытовые, математические, и т.п. Некоторые решаются легко, над некоторыми приходится изрядно подумать, для некоторых мы так и не находим решения.
В общем случае, способ решения задачи (если оно есть) можно описать с помощью конечного числа элементарных действий.
Например, решение квадратного уравнения:
Можно ввести следующее интуитивное понятие алгоритма:
Алгоритм набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное число действий, при любом наборе исходных данных.
Это, конечно, не строгое определение, но оно описывает суть понятия алгоритма.
Алгоритмы составляются в расчёте на конкретного исполнителя, и, соответственно, должны быть составлены на языке, который исполнитель сможет понять.
Исполнителем алгоритма может быть человек, а может быть и вычислительная машина, или какой-нибудь другой автомат, например, ткацкий станок.
Выделяются следующие свойства алгоритмов:
Дискретность алгоритм должен представлять собой некую последовательность отдельных, чётко определённых шагов (действий). Каждое из этих действий должно быть конечно по времени. Детерминированность на каждом шаге работы алгоритма, следующий шаг однозначно определяется текущим состоянием системы. Как следствие, на одинаковых исходных данных, алгоритм всякий раз возвращает одинаковые результаты, сколько бы раз его ни выполняли. Понятность алгоритм должен быть сформулирован на языке, понятном исполнителю. Если речь идёт о вычислительной машине, алгоритм должен использовать только те команды, которые известны вычислительной машине и результат действий которых строго определён. Конечность алгоритм должен завершаться за конечное число шагов. Массовость алгоритм должен быть применим к разным наборам входных данных. Другими словами, алгоритм должен быть пригоден для решения класса задач. Возвращаясь к примеру с квадратным уравнением, алгоритм подходит для решения всех квадратных уравнений, а не только одного или нескольких. Результативность алгоритм должен завершаться определенным результатом. Скажем, решением задачи, или выяснением отсутствия решений. Если алгоритм не приводит к результату, непонятно, зачем он вообще такой нужен.
Не всякий способ решения задачи является алгоритмом. Скажем, алгоритм подразумевает отсутствие выбора. Например, большинство кулинарных рецептов алгоритмами не являются, поскольку используют такие фразы как “соль добавить по вкусу”. Как следствие, нарушается требование детерминированности.
Не для каждой задача, для которой существует решение, существует так же и алгоритм решения. Например, задача распознавания изображений до сих пор в значительной мере остается не решенной, и уж точно не с помощью строгого алгоритма. Впрочем, использование нейросетей дает вполне неплохие результаты.
Обычно, для алгоритма существуют наборы допустимых входных данных. Было бы странно пытаться применить алгоритм решения уравнений для приготовления ужина, или наоборот.
Кроме того, ограничен так же и набор возможных действий исполнителя, поскольку если бы были допустимы любые действия, то среди них должно было бы быть так же и “недопустимое”.
Строгое определение алгоритма
Определение алгоритма, приведенное выше, не является строгим. Это создает некоторые трудности. В частности, с таким определением невозможно строго доказать, является ли данный класс задач решаемым при помощи алгоритма.
Оказывается, существует класс алгоритмически неразрешимых задач – задач, для которых невозможно составить алгоритм решения. Но чтобы строго доказать алгоритмическую неразрешимость, нужно для начала иметь строгое определение алгоритма.
В 20-30 годах XX века, над проблемой строгого определения алгоритма работали разные математики, в частности Алан Тьюринг, Эмиль Леон Пост, Андрей Андреевич Марков, Андрей Николаевич Колмогоров, Алонзо Чёрч и другие. Их работа в итоге привела к возникновению и развитию теории алгоритмов, теории исчислимости и различных подходов к исчислению, и, кстати, программированию в целом. Одним из результатов их работы стало появление нескольких строгих определений алгоритма, введенных различным образом, но эквивалентных друг другу.
Мы подробно остановимся на определении Тьюринга, и поверхностно разберем эквивалентные определения Поста, Чёрча и Маркова.
Машина Тьюринга
Для введения формального определения алгоритма, Тьюринг придумал и описал абстрактную вычислительную машину, называемую вычислительной машиной Тьюринга, или просто машиной Тьюринга.
Английский математик, логик, криптограф, возможно первый в мире “хакер”, стоял у истоков информатики и теории искуственного интеллекта. Внес существенный вклад в победу союзных войск во второй мировой войне.
В качестве входных данных для машины Тьюринга используются слова, составленные с помощью некоего алфавита, то есть, набора символов.
Результатом работы машины Тьюринга так же являются слова.
Слово, к которому применяется алгоритм, называется входным. Слово, которое получается в результате работы, выходным.
Набор слов, к которым применим алгоритм, называется областью применимости алгоритма.
Строго говоря, доказать, что любой объект может быть представлен в виде слов, составленных в каком-то алфавите, нельзя – для этого нам бы потребовалось строгое определение объекта. Однако, можно проверить, что любой наугад взятый алгоритм, работающий над объектами, можно преобразовать так, что он будет работать над словами, при этом суть алгоритма не изменится.
Описание машины Тьюринга
В состав машины Тьюринга входит неограниченная в обе стороны лента, разделенная на ячейки, и управляющее устройство (также называется головкой записи-чтения, или просто автомат), способное находиться в одном из множества состояний. Число возможных состояний управляющего устройства конечно и точно задано.
Управляющее устройство работает согласно правилам перехода, которые представляют алгоритм, реализуемый данной машиной Тьюринга. Каждое правило перехода предписывает машине, в зависимости от текущего состояния и наблюдаемого в текущей клетке символа, записать в эту клетку новый символ, перейти в новое состояние и переместиться на одну клетку влево или вправо. Некоторые состояния машины Тьюринга могут быть помечены как терминальные, и переход в любое из них означает конец работы, остановку алгоритма.
Хотя машина Тьюринга является абстрактной концепцией, достаточно просто представить себе подобную машину (правда, с конечной лентой), и даже существуют демонстрационные машины в таком роде:
Алгоритм для машины Тьюринга удобно представлять в виде таблицы: столбцы таблицы соответствуют текущему (наблюдаемому) символу на ленте, строки – текущему состоянию автомата, а в ячейках записывается команда, которую должен выполнить автомат.
Команда, в свою очередь, может иметь следующую структуру:
\[ a_k \left\lbrace \begin Л \\ Н \\ П \end\right\rbrace q_m \]
Пример
Составим алгоритм для машины Тьюринга, который прибавит к входному слову, представляющему собой десятичное число, 1.
Будем считать, что в начальном состоянии автомат находится слева от входного слова.
Тогда, описательно, алгоритм можно сформулировать следующим образом:
Условимся, что начальное состояние \(1\) – поиск начала входного слова, \(2\) – поиск конца входного слова, \(3\) – прибавление 1.
\(_\backslash^\)
Λ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
ΛП1
0Н2
1Н2
2Н2
3Н2
4Н2
5Н2
6Н2
7Н2
8Н2
9Н2
2
ΛЛ3
0П2
1П2
2П2
3П2
4П2
5П2
6П2
7П2
8П2
9П2
3
1Н0
1Н0
2Н0
3Н0
4Н0
5Н0
6Н0
7Н0
8Н0
9Н0
0Л3
Проследим работу этого алгоритма на примере. Первая строчка соответствует ленте, во второй обозначается положение автомата и его текущее состояние.
В состоянии 1, автомат находится над пустой ячейкой. Соответствующая команда из таблицы “ΛП1”, то есть, оставить ячейку пустой, переместиться вправо и остаться в состоянии 1:
Теперь автомат наблюдает значение “1”. Соотвествующая команда “1Н2”, то есть оставить в ячейке “1”, не перемещаться, и перейти в состояние “2”:
В состоянии “2”, автомат наблюдает значение “1”. Соответствующая команда “1П2”, то есть оставить “1”, переместиться вправо и остаться в состоянии “2”:
Аналогично, команда для состояния “2” и символа “9” – “9П2”:
Наконец, в состоянии 2 автомат наблюдает пустой символ. Команда “ΛЛ3”:
Теперь, в состоянии 3 и наблюдая символ “9”, автомат выполняет команду “0Л3”:
Наконец, выполняется команда “2Н0”:
Состояние “0” – состояние остановки. Работа алгоритма завершена.
Формальное описание
Математически, машину Тьюринга можно описать следующим образом:
Ключевым в теории алгоритмов является тезис Тьюринга.
В вольной формулировке, тезис Тьюринга формулируется следующим образом:
Тезис Тьюринга для любой алгоритмически разрешимой задачи, существует решающая эту задачу машина Тьюринга. иначе, для любого алгоритма существует эквивалентная ему машина Тьюринга.
Тезис Тьюринга позволяет говорить об алгоритмах, пользуясь достаточно простым математическим аппаратом. Более того, сама по себе машина Тьюринга является универсальным исполнительным устройством, и сама возможность создания такой воображаемой машины стала поводом говорить о создании универсальной вычислительной техники.
Альтернативные определения алгоритма
Кроме машины Тьюринга, существует несколько независимых определений, эквивалентных определению Тьюринга.
В частности, определение через машину Поста, через лямбда-исчисление Чёрча, нормальный алгоритм Маркова.
Рассмотрим эти способы.
Машина Поста
Через год после Тьюринга, американский математик Эмиль Леон Пост независимо предложил другую абстрактную универсальную вычислительную машину, которая является некоторым упрощением по сравнению с машиной Тьюринга.
Машина Поста оперирует двузначным алфавитом, и внутреннее состояние автомата заменяется на строку программы.
В остальном, машина Поста аналогична машине Тьюринга: есть автомат, и есть бесконечная лента с ячейками.
Машина Поста может выполнять следующие команды:
Так же машина Поста имеет несколько запрещенных команд:
Подобные события приводят к аварийному завершению работы.
Для написания программ для машины поста можно использовать следующие обозначения:
Эта программа сотрет первую метку (1), находящуюся справа от начального положения автомата, и остановит автомат в ячейке слева от нее.
По большому счету, машина Поста является предшественником императивных языков программирования, например, C, Fortran и пр.
Машина Поста является эквивалентной машине Тьюринга. Другими словами, для любой программы для машины Тьюринга, можно записать эквивалентную программу для машины Поста, и наоборот.
Одним из важных следствий этой эквивалентности является то, что любой алфавит можно свести к двоичному коду.
Аналогично тезису Тьюринга, существует так же и тезис Поста.
Тезис Поста всякий алгоритм представим в виде машины Поста.
Нормальный алгоритм Маркова
Нормальные алгоритмы Маркова предназначены для применения к словам в различных алфавитах.
Определение всякого нормального алгоритма состоит из двух частей:
Сам алгоритм применяется к словам, то есть последовательностям символов алфавита.
При этом предполагается, что вспомогательные символы \(\to\) и \(\to\cdot\) не принадлежат алфавиту алгоритма.
Процесс применения нормального алгоритма к произвольному слову \(V\) представляет собой следующую последовательность действий:
Любой нормальный алгоритм эквивалентен некоторой машине Тьюринга, и наоборот – любая машина Тьюринга эквивалентна некоторому нормальному алгоритму.
Аналог тезиса Тьюринга для нормальных алгоритмов принято называть принципом нормализации.
Пример
Данный алгоритм преобразует двоичные числа в “единичные” (в которых записью целого неотрицательного числа N является строка из N палочек). Например, двоичное число 101 преобразуется в 5 палочек: |||||.
Рекурсивные функции
Систему, эквивалентную машине Тьюринга, можно построить на основе математических функций. Для этого, нам требуется ввести следующие классы функций:
Последний класс будет совпадать с классом вычислимых по Тьюрингу функций (то есть функций, для вычисления которых можно построить алгоритм для машины Тьюринга).
Определение алгоритма через рекурсивные функции по сути лежит в основе лямбда-исчисления, и на его основе строится подход функционального программирования.
Примитивно рекурсивные функции
Класс примитивно рекурсивных функций содержит базовые функции и все функции, получающиеся из базовых посредством операторов подстановки и примитивной рекурсии.
К базовым функциям относятся:
Для конструирования остальных функций класса используются операторы:
Частично рекурсивные функции
Класс частично рекурсивных функций включает примитивно рекурсивные функции, и, плюс к этому, все функции, которые получаются из примитивно рекурсивных с помощью оператора минимизации аргумента:
Оператор минимизации аргумента
\[ h(x_1,\ldots,x_) = \min y, \] где \[f(x_1,\ldots,x_,y)=0.\] То есть, \(h\) возвращает минимальное значение последнего аргумента функции \(f\) при котором значение \(f\) равно нулю.
В то время как примитивно рекурсивные функции всегда вычислимы, частично рекурсивные функции при некоторых значениях аргументов могут быть не определены.
Более строго частично рекурсивные функции следовало бы называть “частично определенные рекурсивные функции”, поскольку они определены только на части возможных значений аргументов.
Общерекурсивные функции
Общерекурсивные функции – это подкласс всех частично рекурсивных функций, которые определены для любых значений аргументов. Задача определения того, является ли данная частично рекурсивная функция общерекурсивной является алгоритмически неразрешимой. Это подводит нас к теме теории вычислимости и проблеме останова.
Теория вычислимости и проблема останова
Наше воображение в целом допускает существование неразрешимых задач, то есть задач, для решения которых невозможно составить алгоритм.
Исследованием таких задач занимается теория вычислимости.
Примерами алгоритмически неразрешимых задач являются проблема останова и проблема распознавания выводимости. Рассмотрим их более подробно.
Проблема останова является алгоритмически неразрешимой. Докажем это.
Пусть существует универсальный алгоритм, решающий проблему останова. Рассмотрим тогда класс алгоритмов, обрабатывающий тексты описания алгоритмов.
Более общей формулировкой проблемы останова является проблема определения выводимости.
Проблема распознавания выводимости
Пусть определены некий алфавит, слова (формулы) этого алфавита, и система формальных преобразований над словами этого алфавита (т.е. построено логическое исчисление)
Существует ли для любых двух слов \(R\) и \(S\) дедуктивная цепочка, ведущая от \(R\) к \(S\) в рамках данного логического исчисления?
В 1936 году Алонзо Чёрч доказал теорему Чёрча.
Теорема Чёрча Проблема распознавания выводимости алгоритмически неразрешима.
Чёрч использовал для доказательства формализм лямбда-исчисления. В 1937 независимо от него ту же теорему доказал Тьюринг, используя формализм машины Тьюринга.
Поскольку все определения алгоритмов эквиваленты друг другу, существует система понятий, не связанная с конкретным определением алгоритма, и оперирует понятием вычислимой функции.
Вычислимая функция функция, для вычисления которой можно составить алгоритм.
Существуют задачи, в которых связь между входными и выходными данными невозможно описать с помощью алгоритма. Такие функции являются невычислимыми.
и входные данные 
, которые должны были поступить на вход первой машины. Нужно описать такую программу (правила работы второй машины), чтобы в результате вычислений на выходе оказалось то же самое, что вернула бы первая машина, если бы получила на вход данные 
и 
, а на последнем этапе все пометки удалить.