Машина тьюринга с нуля

Машина тьюринга с нуля

Один из важнейших вопросов современной информатики — существует ли формальный исполнитель, с помощью которого можно имитировать любого формального исполнителя. ответ на этот вопрос был получен почти одновременно двумя выдающимися учеными — А. Тьюрингом и Э. Постом. Предложенные ими исполнители отличались друг от друга, но оказалось, что они могут имитировать друг друга, а главное — имитировать работу любого формального исполнителя.

Что такое формальный исполнитель? Что значит — один формальный исполнитель имитирует работу другого формального исполнителя? Если Вы играли в компьютерные игры — на экране объекты беспрекословно подчиняются командам играющего. Каждый объект обладает набором допустимых команд. В то же время компьютер сам является исполнителем, причем не виртуальным, а реальным. Вот и получается, что один формальный исполнитель имитирует работу другого формального исполнителя.

Рассмотрим работу Машины Тьюринга.

Машина Тьюринга представляет собой бесконечную ленту, поделенную на ячейки, и каретку (считывающе-печатающее устройство), которая движется вдоль ленты.

Таким образом Машина Тьюринга формально описывается набором двух алфавитов:

A= — внешний алфавит, служит для записи исходных данных

Q= — внутренний алфавит, описывает набор состояний считывающе-печатного устройства.

Каждая ячейка ленты может содержать символ из внешнего алфавита A = (В нашем случае A=<0, 1>)

Допустимые действия Машины Тьюринга таковы:

1) записать какой-либо символ внешнего алфавита в ячейку ленты (символ, бывший там до того, затирается)

2) сместиться в соседнюю ячейку

3) сменить состояние на одно из обозначенных символом внутреннего алфавита Q

Машина Тьюринга — это автомат, который управляется таблицей.

Строки в таблице соответствуют символам выбранного алфавита A, а столбцы — состояниям автомата Q = . В начале работы машина Тьюринга находится в состоянии q1. Состояние q0 — это конечное состояние, попав в него, автомат заканчивает работу.

В каждой клетке таблицы, соответствующей некоторому символу ai и некоторому состоянию qj, находится команда, состоящая из трех частей
· символ из алфавита A
· направление перемещения: «>» (вправо), «

Источник

Навигация

Календарь

Машина Тьюринга. Задачи и решения

Один из важнейших вопросов современной информатики — существует ли формальный исполнитель, с помощью которого можно имитировать любого формального исполнителя. ответ на этот вопрос был получен почти одновременно двумя выдающимися учеными — А. Тьюрингом и Э. Постом. Предложенные ими исполнители отличались друг от друга, но оказалось, что они могут имитировать друг друга, а главное — имитировать работу любого формального исполнителя.

Что такое формальный исполнитель? Что значит — один формальный исполнитель имитирует работу другого формального исполнителя? Если Вы играли в компьютерные игры — на экране объекты беспрекословно подчиняются командам играющего. Каждый объект обладает набором допустимых команд. В то же время компьютер сам является исполнителем, причем не виртуальным, а реальным. Вот и получается, что один формальный исполнитель имитирует работу другого формального исполнителя.

Рассмотрим работу Машины Тьюринга.

Машина Тьюринга представляет собой бесконечную ленту, поделенную на ячейки, и каретку (считывающе-печатающее устройство), которая движется вдоль ленты.

Таким образом Машина Тьюринга формально описывается набором двух алфавитов:

A= — внешний алфавит, служит для записи исходных данных

Q= — внутренний алфавит, описывает набор состояний считывающе-печатного устройства.

Каждая ячейка ленты может содержать символ из внешнего алфавита A = (В нашем случае A=<0, 1>)

Допустимые действия Машины Тьюринга таковы:

1) записать какой-либо символ внешнего алфавита в ячейку ленты (символ, бывший там до того, затирается)

2) сместиться в соседнюю ячейку

3) сменить состояние на одно из обозначенных символом внутреннего алфавита Q

Машина Тьюринга — это автомат, который управляется таблицей.

Строки в таблице соответствуют символам выбранного алфавита A, а столбцы — состояниям автомата Q = . В начале работы машина Тьюринга находится в состоянии q1. Состояние q0 — это конечное состояние, попав в него, автомат заканчивает работу.

В каждой клетке таблицы, соответствующей некоторому символу ai и некоторому состоянию qj, находится команда, состоящая из трех частей
· символ из алфавита A
· направление перемещения: «>» (вправо), «

Источник

Машина Тьюринга

Содержание

Машина Тьюринга (англ. Turing machine) — модель абстрактного вычислителя, предложенная британским математиком Аланом Тьюрингом в 1936 году. Эта модель позволила Тьюрингу доказать два утверждения. Первое — проблема останова неразрешима, т.е. не существует такой машины Тьюринга, которая способна определить, что другая произвольная машина Тьюринга на её ленте зациклится или прекратит работу. Второе — не существует такой машины Тьюринга, которая способна определить, что другая произвольная машина Тьюринга на её ленте когда-нибудь напечатает заданный символ. В этом же году был высказан тезис Чёрча-Тьюринга, который терминах теории рекурсии формулируется как точное описание интуитивного понятия вычислимости классом общерекурсивных функций. В этой формулировке часто упоминается как просто тезис Чёрча. В терминах вычислимости по Тьюрингу тезис гласит, что для любой алгоритмически вычислимой функции существует вычисляющая её значения машина Тьюринга. В виду того, что классы частично вычислимых по Тьюрингу и частично рекурсивных функций совпадают, утверждение объединяют в единый тезис Чёрча — Тьюринга.

Неформально машина Тьюринга определяется как устройство, состоящее из двух частей:

При запуске машины Тьюринга на ленте написано входное слово, причём на первом символе этого слова находится головка, а слева и справа от него записаны пустые символы. Каждый шаг головка может перезаписать символ под лентой и сместиться на одну ячейку, если автомат приходит в допускающее или отвергающее состояние, то работа машины Тьюринга завершается.

Определение [ править ]

Определение машины [ править ]

Отметим, что существуют различные вариации данного выше определения (например, без отвергающего состояния или с множеством допускающих состояний), которые не влияют на вычислительные способности машины Тьюринга.

Определение процесса работы [ править ]

Особо следует рассмотреть случай переходов по пробельному символу:

Для машины Тьюринга, которая пишет символ [math]B[/math] на ленту также можно дать аналогичное формальное определение. Оно будет отличаться тем, что символы в строчках конфигурации могут содержать пробелы, и для того, чтобы эти строчки имекли конечную длину, нужно аккуратно учесть наличие пробелов при записи правил перехода.

Результат работы [ править ]

Примеры машин-распознавателей и машин-преобразователей будут даны ниже.

Примеры машин Тьюринга [ править ]

Прибавление единицы [ править ]

Для начала приведём пример машины-преобразователя, которая прибавляет единицу к числу, записанному на ленте в двоичной записи от младшего бита к старшему. Алгоритм следующий:

Проверка того, является ли слово палиндромом [ править ]

Варианты машины Тьюринга [ править ]

В этом разделе приведены различные варианты машин Тьюринга, которые не отличаются от обычных машин Тьюринга по вычислительной мощности.

Многодорожечная машина Тьюринга [ править ]

Машина Тьюринга с полубесконечной лентой [ править ]

Заменив у машины Тьюринга бесконечную в обе стороны ленту на бесконечную в одну сторону, мы не теряем в вычислительной мощности. По произвольной машине Тьюринга строится двухдорожечная машина с полубесконечной лентой.

Существует алгоритм, по которому для любой машины Тьюринга может быть построена эквивалентная машина Тьюринга с объявленным свойством. Сначала занумеруем ячейки рабочей ленты машины Тьюринга с бесконечной лентой следующим образом:

Затем перенумеруем ячейки, и запишем символ [math]c \in \Pi \setminus \Sigma, B[/math] в начало ленты, который будет означать границу рабочей зоны:

Начальное состояние новой машины Тьюринга устанавливается в одной или другой зоне в зависимости от того, в какой части исходной ленты располагалась головка считывания-записи в исходной конфигурации.[math]\triangleleft[/math]

Многоленточная машина Тьюринга [ править ]

Многоленточная машина с [math]n[/math] дорожками эмулируется многодорожечной машиной с [math]2n[/math] дорожками следующим образом: каждая нечётная дорожка соответствует ленте исходной машины, а на каждой чётной дорожке отмечены специальным символом [math]*[/math] позиция головки на ленте выше (считаем, что ленты нумеруются сверху вниз).

Каждый шаг исходной машины эмулируется конечной последовательностью шагов построенной машины следующим образом: исходно головка находится в позиции самой левой отметки и идёт вправо до самой правой отметки, запоминая прочитанные около символов [math]*[/math] символы в состоянии. Пройдя до самой правой отметки, головка возвращается влево, совершая необходимые действия (переписывая символы около отметок и передвигая сами отметки). После такого прохода головка переходит в следующее состояние, завершая эмуляцию шага.

Аланом Тьюрингом было сформулировано следующее утверждение:

Иными словами, тезис говорит о том, что любой алгоритм можно запрограммировать на машине Тьюринга.

Универсальная машина Тьюринга [ править ]

Существует машина Тьюринга, которая принимает на вход закодированное описание произвольной машины и входную строку и эмулирует работу закодированной машины на заданном входном слове. Иными словами, универсальный язык перечислим с помощью машины Тьюринга. Ссылки на явные конструкции универсальных машин Тьюринга приведены ниже.

Источник

Алгоритмы. Машина Тьюринга. Альтернативные определения алгоритма. Теория вычислимости и проблема останова.

Мы часто решаем задачи различной сложности: бытовые, математические, и т.п. Некоторые решаются легко, над некоторыми приходится изрядно подумать, для некоторых мы так и не находим решения.

В общем случае, способ решения задачи (если оно есть) можно описать с помощью конечного числа элементарных действий.

Например, решение квадратного уравнения:

Можно ввести следующее интуитивное понятие алгоритма:

Алгоритм набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное число действий, при любом наборе исходных данных.

Это, конечно, не строгое определение, но оно описывает суть понятия алгоритма.

Алгоритмы составляются в расчёте на конкретного исполнителя, и, соответственно, должны быть составлены на языке, который исполнитель сможет понять.

Исполнителем алгоритма может быть человек, а может быть и вычислительная машина, или какой-нибудь другой автомат, например, ткацкий станок.

Выделяются следующие свойства алгоритмов:

Дискретность алгоритм должен представлять собой некую последовательность отдельных, чётко определённых шагов (действий). Каждое из этих действий должно быть конечно по времени. Детерминированность на каждом шаге работы алгоритма, следующий шаг однозначно определяется текущим состоянием системы. Как следствие, на одинаковых исходных данных, алгоритм всякий раз возвращает одинаковые результаты, сколько бы раз его ни выполняли. Понятность алгоритм должен быть сформулирован на языке, понятном исполнителю. Если речь идёт о вычислительной машине, алгоритм должен использовать только те команды, которые известны вычислительной машине и результат действий которых строго определён. Конечность алгоритм должен завершаться за конечное число шагов. Массовость алгоритм должен быть применим к разным наборам входных данных. Другими словами, алгоритм должен быть пригоден для решения класса задач. Возвращаясь к примеру с квадратным уравнением, алгоритм подходит для решения всех квадратных уравнений, а не только одного или нескольких. Результативность алгоритм должен завершаться определенным результатом. Скажем, решением задачи, или выяснением отсутствия решений. Если алгоритм не приводит к результату, непонятно, зачем он вообще такой нужен.

Не всякий способ решения задачи является алгоритмом. Скажем, алгоритм подразумевает отсутствие выбора. Например, большинство кулинарных рецептов алгоритмами не являются, поскольку используют такие фразы как “соль добавить по вкусу”. Как следствие, нарушается требование детерминированности.

Не для каждой задача, для которой существует решение, существует так же и алгоритм решения. Например, задача распознавания изображений до сих пор в значительной мере остается не решенной, и уж точно не с помощью строгого алгоритма. Впрочем, использование нейросетей дает вполне неплохие результаты.

Обычно, для алгоритма существуют наборы допустимых входных данных. Было бы странно пытаться применить алгоритм решения уравнений для приготовления ужина, или наоборот.

Кроме того, ограничен так же и набор возможных действий исполнителя, поскольку если бы были допустимы любые действия, то среди них должно было бы быть так же и “недопустимое”.

Строгое определение алгоритма

Определение алгоритма, приведенное выше, не является строгим. Это создает некоторые трудности. В частности, с таким определением невозможно строго доказать, является ли данный класс задач решаемым при помощи алгоритма.

Оказывается, существует класс алгоритмически неразрешимых задач – задач, для которых невозможно составить алгоритм решения. Но чтобы строго доказать алгоритмическую неразрешимость, нужно для начала иметь строгое определение алгоритма.

В 20-30 годах XX века, над проблемой строгого определения алгоритма работали разные математики, в частности Алан Тьюринг, Эмиль Леон Пост, Андрей Андреевич Марков, Андрей Николаевич Колмогоров, Алонзо Чёрч и другие. Их работа в итоге привела к возникновению и развитию теории алгоритмов, теории исчислимости и различных подходов к исчислению, и, кстати, программированию в целом. Одним из результатов их работы стало появление нескольких строгих определений алгоритма, введенных различным образом, но эквивалентных друг другу.

Мы подробно остановимся на определении Тьюринга, и поверхностно разберем эквивалентные определения Поста, Чёрча и Маркова.

Машина Тьюринга

Для введения формального определения алгоритма, Тьюринг придумал и описал абстрактную вычислительную машину, называемую вычислительной машиной Тьюринга, или просто машиной Тьюринга.

Английский математик, логик, криптограф, возможно первый в мире “хакер”, стоял у истоков информатики и теории искуственного интеллекта. Внес существенный вклад в победу союзных войск во второй мировой войне.

В качестве входных данных для машины Тьюринга используются слова, составленные с помощью некоего алфавита, то есть, набора символов.

Результатом работы машины Тьюринга так же являются слова.

Слово, к которому применяется алгоритм, называется входным. Слово, которое получается в результате работы, выходным.

Набор слов, к которым применим алгоритм, называется областью применимости алгоритма.

Строго говоря, доказать, что любой объект может быть представлен в виде слов, составленных в каком-то алфавите, нельзя – для этого нам бы потребовалось строгое определение объекта. Однако, можно проверить, что любой наугад взятый алгоритм, работающий над объектами, можно преобразовать так, что он будет работать над словами, при этом суть алгоритма не изменится.

Описание машины Тьюринга

В состав машины Тьюринга входит неограниченная в обе стороны лента, разделенная на ячейки, и управляющее устройство (также называется головкой записи-чтения, или просто автомат), способное находиться в одном из множества состояний. Число возможных состояний управляющего устройства конечно и точно задано.

Управляющее устройство работает согласно правилам перехода, которые представляют алгоритм, реализуемый данной машиной Тьюринга. Каждое правило перехода предписывает машине, в зависимости от текущего состояния и наблюдаемого в текущей клетке символа, записать в эту клетку новый символ, перейти в новое состояние и переместиться на одну клетку влево или вправо. Некоторые состояния машины Тьюринга могут быть помечены как терминальные, и переход в любое из них означает конец работы, остановку алгоритма.

Хотя машина Тьюринга является абстрактной концепцией, достаточно просто представить себе подобную машину (правда, с конечной лентой), и даже существуют демонстрационные машины в таком роде:

Алгоритм для машины Тьюринга удобно представлять в виде таблицы: столбцы таблицы соответствуют текущему (наблюдаемому) символу на ленте, строки – текущему состоянию автомата, а в ячейках записывается команда, которую должен выполнить автомат.

Команда, в свою очередь, может иметь следующую структуру:

\[ a_k \left\lbrace \begin Л \\ Н \\ П \end\right\rbrace q_m \]

Пример

Составим алгоритм для машины Тьюринга, который прибавит к входному слову, представляющему собой десятичное число, 1.

Будем считать, что в начальном состоянии автомат находится слева от входного слова.

Тогда, описательно, алгоритм можно сформулировать следующим образом:

Условимся, что начальное состояние \(1\) – поиск начала входного слова, \(2\) – поиск конца входного слова, \(3\) – прибавление 1.

Проследим работу этого алгоритма на примере. Первая строчка соответствует ленте, во второй обозначается положение автомата и его текущее состояние.

В состоянии 1, автомат находится над пустой ячейкой. Соответствующая команда из таблицы “ΛП1”, то есть, оставить ячейку пустой, переместиться вправо и остаться в состоянии 1:

Теперь автомат наблюдает значение “1”. Соотвествующая команда “1Н2”, то есть оставить в ячейке “1”, не перемещаться, и перейти в состояние “2”:

В состоянии “2”, автомат наблюдает значение “1”. Соответствующая команда “1П2”, то есть оставить “1”, переместиться вправо и остаться в состоянии “2”:

Аналогично, команда для состояния “2” и символа “9” – “9П2”:

Наконец, в состоянии 2 автомат наблюдает пустой символ. Команда “ΛЛ3”:

Теперь, в состоянии 3 и наблюдая символ “9”, автомат выполняет команду “0Л3”:

Наконец, выполняется команда “2Н0”:

Состояние “0” – состояние остановки. Работа алгоритма завершена.

Формальное описание

Математически, машину Тьюринга можно описать следующим образом:

Ключевым в теории алгоритмов является тезис Тьюринга.

В вольной формулировке, тезис Тьюринга формулируется следующим образом:

Тезис Тьюринга для любой алгоритмически разрешимой задачи, существует решающая эту задачу машина Тьюринга. иначе, для любого алгоритма существует эквивалентная ему машина Тьюринга.

Тезис Тьюринга позволяет говорить об алгоритмах, пользуясь достаточно простым математическим аппаратом. Более того, сама по себе машина Тьюринга является универсальным исполнительным устройством, и сама возможность создания такой воображаемой машины стала поводом говорить о создании универсальной вычислительной техники.

Альтернативные определения алгоритма

Кроме машины Тьюринга, существует несколько независимых определений, эквивалентных определению Тьюринга.

В частности, определение через машину Поста, через лямбда-исчисление Чёрча, нормальный алгоритм Маркова.

Рассмотрим эти способы.

Машина Поста

Через год после Тьюринга, американский математик Эмиль Леон Пост независимо предложил другую абстрактную универсальную вычислительную машину, которая является некоторым упрощением по сравнению с машиной Тьюринга.

Машина Поста оперирует двузначным алфавитом, и внутреннее состояние автомата заменяется на строку программы.

В остальном, машина Поста аналогична машине Тьюринга: есть автомат, и есть бесконечная лента с ячейками.

Машина Поста может выполнять следующие команды:

Так же машина Поста имеет несколько запрещенных команд:

Подобные события приводят к аварийному завершению работы.

Для написания программ для машины поста можно использовать следующие обозначения:

Эта программа сотрет первую метку (1), находящуюся справа от начального положения автомата, и остановит автомат в ячейке слева от нее.

По большому счету, машина Поста является предшественником императивных языков программирования, например, C, Fortran и пр.

Машина Поста является эквивалентной машине Тьюринга. Другими словами, для любой программы для машины Тьюринга, можно записать эквивалентную программу для машины Поста, и наоборот.

Одним из важных следствий этой эквивалентности является то, что любой алфавит можно свести к двоичному коду.

Аналогично тезису Тьюринга, существует так же и тезис Поста.

Тезис Поста всякий алгоритм представим в виде машины Поста.

Нормальный алгоритм Маркова

Нормальные алгоритмы Маркова предназначены для применения к словам в различных алфавитах.

Определение всякого нормального алгоритма состоит из двух частей:

Сам алгоритм применяется к словам, то есть последовательностям символов алфавита.

При этом предполагается, что вспомогательные символы \(\to\) и \(\to\cdot\) не принадлежат алфавиту алгоритма.

Процесс применения нормального алгоритма к произвольному слову \(V\) представляет собой следующую последовательность действий:

Любой нормальный алгоритм эквивалентен некоторой машине Тьюринга, и наоборот – любая машина Тьюринга эквивалентна некоторому нормальному алгоритму.

Аналог тезиса Тьюринга для нормальных алгоритмов принято называть принципом нормализации.

Пример

Данный алгоритм преобразует двоичные числа в “единичные” (в которых записью целого неотрицательного числа N является строка из N палочек). Например, двоичное число 101 преобразуется в 5 палочек: |||||.

Рекурсивные функции

Систему, эквивалентную машине Тьюринга, можно построить на основе математических функций. Для этого, нам требуется ввести следующие классы функций:

Последний класс будет совпадать с классом вычислимых по Тьюрингу функций (то есть функций, для вычисления которых можно построить алгоритм для машины Тьюринга).

Определение алгоритма через рекурсивные функции по сути лежит в основе лямбда-исчисления, и на его основе строится подход функционального программирования.

Примитивно рекурсивные функции

Класс примитивно рекурсивных функций содержит базовые функции и все функции, получающиеся из базовых посредством операторов подстановки и примитивной рекурсии.

К базовым функциям относятся:

Для конструирования остальных функций класса используются операторы:

Частично рекурсивные функции

Класс частично рекурсивных функций включает примитивно рекурсивные функции, и, плюс к этому, все функции, которые получаются из примитивно рекурсивных с помощью оператора минимизации аргумента:

Оператор минимизации аргумента

\[ h(x_1,\ldots,x_) = \min y, \] где \[f(x_1,\ldots,x_,y)=0.\] То есть, \(h\) возвращает минимальное значение последнего аргумента функции \(f\) при котором значение \(f\) равно нулю.

В то время как примитивно рекурсивные функции всегда вычислимы, частично рекурсивные функции при некоторых значениях аргументов могут быть не определены.

Более строго частично рекурсивные функции следовало бы называть “частично определенные рекурсивные функции”, поскольку они определены только на части возможных значений аргументов.

Общерекурсивные функции

Общерекурсивные функции – это подкласс всех частично рекурсивных функций, которые определены для любых значений аргументов. Задача определения того, является ли данная частично рекурсивная функция общерекурсивной является алгоритмически неразрешимой. Это подводит нас к теме теории вычислимости и проблеме останова.

Теория вычислимости и проблема останова

Наше воображение в целом допускает существование неразрешимых задач, то есть задач, для решения которых невозможно составить алгоритм.

Исследованием таких задач занимается теория вычислимости.

Примерами алгоритмически неразрешимых задач являются проблема останова и проблема распознавания выводимости. Рассмотрим их более подробно.

Проблема останова является алгоритмически неразрешимой. Докажем это.

Пусть существует универсальный алгоритм, решающий проблему останова. Рассмотрим тогда класс алгоритмов, обрабатывающий тексты описания алгоритмов.

Более общей формулировкой проблемы останова является проблема определения выводимости.

Проблема распознавания выводимости

Пусть определены некий алфавит, слова (формулы) этого алфавита, и система формальных преобразований над словами этого алфавита (т.е. построено логическое исчисление)

Существует ли для любых двух слов \(R\) и \(S\) дедуктивная цепочка, ведущая от \(R\) к \(S\) в рамках данного логического исчисления?

В 1936 году Алонзо Чёрч доказал теорему Чёрча.

Теорема Чёрча Проблема распознавания выводимости алгоритмически неразрешима.

Чёрч использовал для доказательства формализм лямбда-исчисления. В 1937 независимо от него ту же теорему доказал Тьюринг, используя формализм машины Тьюринга.

Поскольку все определения алгоритмов эквиваленты друг другу, существует система понятий, не связанная с конкретным определением алгоритма, и оперирует понятием вычислимой функции.

Вычислимая функция функция, для вычисления которой можно составить алгоритм.

Существуют задачи, в которых связь между входными и выходными данными невозможно описать с помощью алгоритма. Такие функции являются невычислимыми.

Пример невычислимой функции

Источник