Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным 1 22500

Решение задач B12: №440—447

Это простые текстовые задачи из ЕГЭ по математике 2012. Впрочем, некоторые из них не такие уж и простые. Для разнообразия некоторые задачи будут решены с помощью теоремы Виета (см. урок «Теорема Виета»), другие — стандартно, через дискриминант.

Разумеется, далеко не всегда задачи B12 будут сводиться к квадратному уравнению. Там, где в задаче возникает простое линейное уравнение, никаких дискриминантов и теорем Виета не потребуется.

Задача. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса (единиц в месяц) (тыс. руб.) задается формулой: Определите максимальный уровень (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц составит не менее 440 тыс. руб.

Это простейшая текстовая задача. Подставим формулу спроса в формулу выручки Получим:

По условию, выручка предприятия должна составлять хотя бы 440 тысяч рублей. Составим и решим уравнение:

(150 − 10 p ) · p = 440 — это квадратное уравнение;
150 p − 10 p 2 = 440 — раскрыли скобки;
150 p − 10 p 2 − 440 = 0 — собрали все в одной стороне;
p 2 − 15 p + 44 = 0 — разделили все на коэффициент

Получилось приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
p ₁ + p ₂ = −(−15) = 15;
p ₁ · p ₂ = 44.

Очевидно, корни: p ₁ = 11; p ₂ = 4.

Итак, у нас есть два кандидата на ответ: числа 11 и 4. Возвращаемся к условию задачи и смотрим на вопрос. Требуется найти максимальный уровень цены, т.е. из чисел 11 и 4 надо выбрать 11. Разумеется, эту задачу можно было решать и через дискриминант — ответ получится точно таким же.

Задача. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса (единиц в месяц) (тыс. руб.) задается формулой: Определите максимальный уровень (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц составит не менее 270 тыс. руб.

Задача решается аналогично предыдущей. Нас интересует выручка, равная 270. Поскольку выручка предприятия считается по формуле а спрос — по формуле составим и решим уравнение:

(75 − 5 p ) · p = 270;
75 p − 5 p 2 = 270;
−5 p 2 + 75 p − 270 = 0;
p 2 − 15 p + 54 = 0.

Задача сведена к приведенному квадратному уравнению. По теореме Виета:
p ₁ + p ₂ = −(−15) = 15;
p ₁ · p ₂ = 54.

Очевидно, что корни — это числа 6 и 9. Итак, при цене 6 или 9 тысяч рублей выручка составит требуемые 270 тысяч рублей. В задаче просят указать максимальную цену, т.е. 9 тысяч рублей.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

8 = (−1/5000) · x 2 + (1/10) · x — довольно неслабые коэффициенты;
40 000 = − x 2 + 500 x — это уже вполне вменяемое уравнение;
x 2 − 500 x + 40 000 = 0 — перенесли все слагаемые в одну сторону.

Получили приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
x ₁ + x ₂ = −(−500) = 500 = 100 + 400;
x ₁ · x ₂ = 40 000 = 100 · 400.

Корни: 100 и 400. Нас интересует наибольшее расстояние, поэтому выбираем второй корень.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой где постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 15 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Задача полностью аналогична предыдущей — только числа другие. Имеем:

15 = (−1/8000) · x 2 + (1/10) · x ;
120 000 = − x 2 + 800 x — умножили обе стороны на 8000;
x 2 − 800 x + 120 000 = 0 — собрали все элементы с одной стороны.

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
x ₁ + x ₂ = −(−800) = 800 = 200 + 600;
x ₁ · x ₂ = 120 000 = 200 · 600.

Отсюда корни: 200 и 600. Наибольший корень: 600.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой где постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Еще одна задача с бешеными коэффициентами. Высота — 8 метров. В этот раз попробуем решить через дискриминант. Имеем:

8 = (−1/22 500) · x 2 + (1/25) · x ;
180 000 = − x 2 + 900 x — умножили все числа на 22 500;
x 2 − 900 x + 180 000 = 0 — собрали все в одной стороне.

Дискриминант: D = 900 2 − 4 · 1 · 180 000 = 90 000; Корень из дискриминанта: 300. Корни уравнения:
x ₁ = (900 − 300) : 2 = 300;
x ₂ = (900 + 300) : 2 = 600.

Наибольший корень: 600.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой где постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Аналогичная задача. Высота снова 8 метров. Составим и решим уравнение:

8 = (−1/20 000) · x 2 + (1/20) · x ;
160 000 = − x 2 + 1000 x — умножили обе стороны на 20 000;
x 2 − 1000 x + 160 000 = 0 — собрали все с одной стороны.

Дискриминант: D = 1000 2 − 4 · 1 · 160 000 = 360 000. Корень из дискриминанта: 600. Корни уравнения:
x ₁ = (1000 − 600) : 2 = 200;
x ₂ = (1000 + 600) : 2 = 800.

Наибольший корень: 800.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой где постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 24 метра надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Очередная задача-клон. Требуемая высота: 24 метра. Составляем уравнение:

24 = (−1/22 500) · x 2 + (1/15) · x ;
540 000 = − x 2 + 1500 x — умножили все на 22 500;
x 2 − 1500 x + 540 000 = 0 — собрали все в одной стороне.

Получили приведенное квадратное уравнение. Решаем по теореме Виета:
x ₁ + x ₂ = −(−1500) = 1500 = 600 + 900;
x ₁ · x ₂ = 540 000 = 600 · 900.

Из разложения видно, что корни: 600 и 900. Выбираем наибольший: 900.

Задача. В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем меняется по закону время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока высота столба жидкости будет больше нуля. Таким образом, надо выяснить, когда Составляем и решаем уравнение:

5 − 1,6 t + 0,128 t 2 = 0;
625 − 200 t + 16 t 2 = 0 — умножили все на 125;
16 t 2 − 200 t + 625 = 0 — расположили слагаемые в нормальном порядке.

Дискриминант: D = 200 2 − 4 · 16 · 625 = 0. Значит, корень будет всего один. Найдем его:

x ₁ = Итак, через 6,25 минуты уровень воды опустится до нулевой отметки. Это и будет момент, до которого вода будет вытекать.

Источник