Найти матрицу с если с авто в

Если матрица А имеет размер то такую матрицу называют квадратной матрицей порядка п.

Две матрицы одинакового размера А = ||a_ij|| и B = ||b_ij|| называют равными (при этом пишут А = В), если

.

.

Решение.

Соответственно а₂₃ – элемент, стоящий во второй строке и в третьем столбце;

.

При каких a и b А=В?

Решение.

У равных матриц должны быть равными соответствующие элементы. Для элементов, заданных численно, это условие выполняется: a₁₂ = b₁₂ = 1,

.

Сумма матриц

Суммой двух матриц одинакового размера А = ||aij|| и B = ||bij|| называют матрицу С = ||сij|| размера такую, что , .

Пример 1.

.

, .

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Легко проверить, что выполнены следующие свойства для операции сложения матриц:

Произведением матрицы размера т5п А = ||aij|| на число l называют матрицу того же размера С = ||сij|| такую, что , .

.

Решение.

.

Ответ: .

Нетрудно убедиться, что имеют место следующие свойства:

Знак суммы

Нам часто придется иметь дело с различными суммами. Удобно иметь обозначение для сумм, позволяющее записывать их более коротким способом. Этому служит знак суммирования

.

Из хорошо известных свойств чисел вытекают следующие свойства знака суммирования:

1. 2. 3.

Произведение матриц

Умножение матрицы А = ||a_ij|| размера на матрицу В = ||b_ij|| размера определено лишь для случая, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, т.е. когда n=l. В этом случае произведение матриц определяется следующим образом:

Произведением матриц АВ называется матрица С = ||сij|| размера , у которой ,

Иначе говоря, элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующий элемент j-ого столбца матрицы В. С помощью знака суммирования можно записать это так:

Пример 2.

Найти произведение матриц

и .

.

Отметим, что произведение матриц некоммутативно, т.е. в общем случае АВ не равно ВА. В приведённом выше примере матрицу В просто нельзя даже умножить на матрицу А. Но, даже если А и В – квадратные матрицы одного порядка (тогда существуют произведения АВ и ВА), то, как показывает следующий пример, произведения АВ и ВА могут не совпадать.

Пример 3.

Пусть , .

Тогда ,

.

Единичной матрицей называется квадратная матрица вида

.

Доказать, что для любой квадратной матрицы А

где Е – единичная матрица того же порядка, что и А.

Доказательство.

Пусть А и Е – квадратные матрицы п-го порядка, В = АЕ.

Но e_ij = 0 при i, не равном j, a e_jj = 1. Следовательно, b_ij = a_ij·1 = a_ij. Таким образом, все элементы матрицы В равны соответствующим элементам матрицы А, то есть В = А.

(учитываем, что e_ii = 1, e_ij = 0 при i, не равном j). Значит, С = А. Утверждение доказано.

Приведём ряд свойств произведений матриц.

Доказательство.

C = ||c_ij|| Имеем AB = ||a_ij||, где

где — элемент матрицы ВС. Тем самым, если обозначить элемент матрицы А(ВС) через g’_ij, будем иметь

Доказательство.

Пусть матрица A = ||a_ij|| имеет размер а матрицы B = ||b_ij|| и C = ||c_ij|| имеют размер Тогда для элементов матрицы А(В+С)= ||g_ij|| имеем

Из определения произведения матриц вытекает, что АВ= ||a_ij||, а АС= ||b_ij||, т.е. А(В+С)=АВ+АС. Аналогично доказываем, что (В+С)А=ВА+СА.

Пусть А и В – квадратные матрицы одного порядка. Вывести формулу для (А+В) 2 (при натуральном п под С n понимается произведение С·С·…·С).

Решение.

Используем свойства сложения и умножения матриц:

Пусть А и В – квадратные матрицы одного порядка. Разложить на множители выражение АВ+2В.

Решение.

Используем свойство единичной матрицы (см. упражнение 5):

(использовано свойство 2 произведения матриц).

Решение.

Поскольку А 2 = А·А, С 2 = С·С, запишем заданный матричный многочлен в виде: А 2 С +АС 2 = А·А·С +А·С·С и воспользуемся свойствами произведения матриц:

Решение.

Определим размеры матрицы А: и В: Следовательно, существуют оба произведения: и АВ, и ВА, причем размер матрицы С = АВ: а матрицы D = BA:

Вычислим элементы матрицы С:

Таким образом, матрица С имеет вид:

.

Матрица D состоит из единственного элемента:

Тогда .

Ответ: , .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПО ТЕМЕ «Операции над матрицами»

Задача 1.

Найти матрицу 5А – 2В, если

.

Указание

Решение

Используем определения линейных операций надматрицами:

.

Ответ: 5А – 2В .

Задача 2.

Указание

Используя операции умножения матрицы на число и сложения матриц, найдите элементы матрицы А + тВ, а затем приравняйте их соответствующим элементам матрицы

Решение

.

Ответ: х = 5, у = 3, т = 3.

Задача 3.

Найти АВ и ВА, если

Указание

Проверьте возможность перемножения матриц, определив их размерность, а затем используйте определение произведения матриц.

Решение

Проверим возможность перемножения матриц, определив их размерность.

A[ ], B[ ]. Следовательно, n = l = 4, m = k = 2, поэтому матрицы АВ и ВА существуют, причем АВ[ ], BA[ ].

Для вычисления элементов матрицы С = АВ элементы строк матрицы А умножаются на соответствующие элементы столбцов матрицы В:

с₁₁ = 2 · 2 + (-2)(-1) + 1 · 1 + 0 · 2 = 9

(сумма произведений элементов первой строки А на элементы первого столбца В; первый индекс вычисляемого элемента задает номер строки А, второй индекс – номер столбца В);

с₁₂ = 2 · 2 + (-2) · 0 + 1 · 1 + 0 · 4 = 5;

При вычислении элементов матрицы D = BA элементы строк В умножаются на элементы столбцов А:

Ответ:

Задача 4.

Выяснить, можно ли умножить друг на друга матрицы

Если произведение существует, вычислить его.

Указание

Проверьте возможность перемножения матриц, определив их размерность, а затем (в случае, если произведение АВ или ВА существует) найдите его, используя определение произведения матриц.

Решение

Сравним размерности матриц А и В: A[ ], B[ ]. Следовательно, поэтому произведение АВ[ ] существует, а произведение ВА – нет.

Найдем элементы АВ:

(ab)₁₁ = 0 · 5 + 3 · 7 = 21; (ab)₁₂ = 0 · 6 + 3 · 8 = 24; (ab)₂₁ = 4 · 5 – 2 · 7 = 6;

Ответ: ВА не существует.

Задача 5.

Вычислить матричный многочлен А 2 – 3А, где

.

Указание

Решение

Поскольку А 2 = А · А, умножим матрицу А на себя по правилу умножения матриц. А – квадратная матрица 2-го порядка, поэтому А 2 – тоже квадратная матрица той же размерности.

Найдем элементы матрицы С = А 2 :

.

.

.

Ответ:

Задача 6.

Найти матрицу Х из уравнения Х 2 = А, где

Указание

Из определения операции умножения матриц следует, что Х – квадратная матрица 2-го порядка.

тогда, приравнивая элементы произведения Х· Х соответствующим элементам А, получим систему уравнений для определения элементов матрицы Х.

Решение

Из определения операции умножения матриц следует, что Х – квадратная матрица 2-го порядка.

тогда, приравнивая элементы произведения Х· Х соответствующим элементам А, получим систему уравнений

Из второго уравнения следует, что

Складывая первое и третье уравнения, найдем, что

Используя предыдущий результат, получим, что

Подставим найденное выражение для d в последнее уравнение:

Вычислим остальные элементы матрицы Х:

Ответ:

1.1.2. Определители матриц

Источник